Пример выполнения задания

Общие рекомендации по использованию учебного практикума

Учебный практикум по дисциплине «Вычислительные методы» состоит из 5 лабораторных работ и курсовой работы. Лабораторные работы предназначены для изучения основных численных методов и включают в себя 5 следующих тем:

1. Методы решения нелинейных уравнений

2. Интерполяция функций

3. Численное интегрирование

4. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Одномерная оптимизация

  

Изучение каждой темы следует начинать с теоретического материала [1]. При этом необходимо обратить внимание на вопросы, подлежащие изучению, и контрольные вопросы по темам, которые позволяют осуществить самоконтроль знаний.

Общее задание к лабораторным работам представляет собой перечень пунктов, которые необходимо выполнить в работе по конкретной теме.

Индивидуальное задание выбирается из указанных в таблице вариантов заданий. Номер индивидуального задания выбирается в соответствии с указанием преподавателя.

Все лабораторные работы по всем темам имеют два вида расчета:

· «ручной расчет» - расчет трех итераций по заданному методу;

·  «расчет на математическом пакете» - расчет, проведенный с использованием математического пакета.

По каждой теме приведен пример выполнения индивидуального задания. Выполнение задания фиксируется в отчете. Перед оформлением отчета следует внимательно изучить раздел «Содержание отчета». Отчет должен быть оформлен аккуратно и содержать все пункты выполнения задания. На титульном листе отчета фиксируется название темы и вариант задания.

Лабораторная работа по теме

«Методы решения нелинейных уравнений»

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.

2. Этапы численного решения уравнения.

3. Аналитический и графический методы отделения корней.

4. Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

5. Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

6. Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

7. Сходимость метода итерации, выбор начального значения корня, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.

8. Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.

9. Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.

10. Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.

11. Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

12. Алгоритмы и программы решения нелинейных уравнений на языке программирования. 

13. Решение нелинейных уравнений средствами математических пакетов

 

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание из таблицы.1-1 по указанию преподавателя:

· нелинейное уравнение;

· метод решения нелинейных уравнений для «ручного расчета» (столбец p в табл.1-1);

Отделить корни уравнения.

3. Уточнить корень уравнения 4-мя численными методами, для чего провести исследование нелинейного уравнения:

· проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

· выбрать начальное приближение;

· сформулировать условия окончания этапа уточнения корня.

4. Провести «ручной расчет» трех итераций.

5. Оценить погрешность результата «ручного расчета».

Решить нелинейное уравнение средствами математического пакета.

 

Варианты задания

                                                                                Таблица 1-1

№ вар	Уравнение	№ вар	Уравнение
1	tg(0,36x +0,4) = x2	19	ex + ln(x) – x = 0
2	x + ln(4x) – 1 = 0	20	1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0
3	ex – 4 e-x – 1 = 0	21	– cos(1–x) = 0
4	x ex – 2 = 0	22	sin(x2)+cos(x2)–10x = 0
5	4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0	23	x2 – ln(1 + x) – 3 = 0
6	2 – x – sin(x / 4) = 0	24	cos(x / 2) ln(x – 1) = 0
7	x2 + ln(x) – 2 = 0	25	cos(x/5)  – x = 0
8	cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0	26	3x – e-x = 0
9	4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0	27	4(1+ ) ln(x)–10 = 0
10	5 ln(x) –  = 0	28	(x-3)2 lg(x-2) = -2
11	ex + x3 – 2 = 0	29	x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0
12	3 sin () + x – 3 = 0	30	0.25x3 + cos(x / 4) = 0
13	0.1x2 – x ln(x) = 0	31	2 – x = ln x
14	cos(1 + 0.2x2) – x = 0	32	x2 + 4sinx = 0
15	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0	33	0,5x -3 = (x+2)2
16	sin(1 – 0.2x2) – x = 0	34	1 + lgx = 0,5
17	ex – e-x – 2 = 0	35	2 lgx – x/2+ 1 = 0
18	x – sin(1 / x) = 0	36	x – sinx = 0,25

 

 

 

Содержание отчета

1. Индивидуальное задание (уравнение, метод решения).

2. Результаты этапа отделения корней (интервалы изоляции корня)

3. Результаты исследования задания для «ручного расчета»:

· условие сходимости вычислительного процесса;

· начальное приближение;

· условие окончания процесса уточнения.

4. Результаты «ручного расчета», представленные в форме табл. 1-2а для метода половинного деления или в форме табл. 1-2б для остальных методов.

Таблица 1-2а

k	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	b-a
1
2
3
4

 

                                                   Таблица 1-2б

k	x	f(x)
1
2
3
4

 

5. Оценки погрешностей результатов «ручного расчета».

6. Результаты решения задачи, полученные с помощью математического пакета.

 

Пример выполнения задания

1. Задание для решения нелинейных уравнений:

· уравнение ;

· методы решения нелинейных уравнений для ручного расчета – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;