Смешанная интервально-аффинная арифметика

Преимущество аффинной арифметики над интервальной арифметикой всецело зависит от ее способности определить и использовать зависимости между операндами. Когда такая зависимость отсутствует, или случайно согласуется с консервативными предположениями IA, AA оценки могут быть шире, чем в IA – даже не смотря на то, что аффинная арифметика более точна, чем интервальная.

Объяснением этого парадоксального факта служит то, что IA пытается окружить график каждой элементарной функции ортогональным параллелепипедом минимального вертикального размера, в то время как AA ищет наклонный параллелепипед минимального объема. Например, рассмотрим операцию возведения в квадрат z = x ², для x Î[1, 3]. IA дает (узкий) диапазон [1, 9] для z; а AA представляет x как  = 2+1e₁, и производит  = 4.5 + 4e₁ + 0.5e₂, чей диапазон [0, 9]. Заметим, что IA говорит только то, что пара (x, z) лежит в прямоугольнике площади 2 * 8 = 16, в то время как результат AA ограничен параллелограммом площади 2 * 1 = 2.

Этот недостаток оценок диапазонов в AA, к сожалению, имеет тенденцию проявляться, когда в функции ¦ преобладают члены, подобные квадрату, оцениваемые возле своего минимума – именно там, где нам нужны точные нижние границы.

Эта проблема может быть решена путем объединения IA с AA. В этой смешанной модели каждая величина x представлена и аффинной формой  и стандартным интервалом [ x ]. Каждая операция z = Ф(x, y) выполняется в обеих вычислительных моделях. Интервальная часть [ z ] результата – это множество, являющееся пересечением диапазонов, вычисленных в IA и в AA; и AA- процедура использует интервалы [ x ] и [ y ] при выборе чебышевской аппроксимации для Ф. Таким образом, IA и AA находятся во взаимодействии на каждом шаге: явные интервалы, полученные IA, приводят к лучшим выборам для самых лучших линейных аппроксимаций и к меньшим значениям для члена ошибки z _k; в то время как аффинные формы в AA позволяют сокращать связанные ошибки, и, следовательно, приводить к более узким интервалам. В частности, смешанная AAIA (affine arithmetic – interval arithmetic) схема вычисляет неотрицательные диапазоны для Ф (x) = x ², без потери информации о зависимости, обеспеченной AA.