Формулы сокращенного умножения

 

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² + ±b³

a²- b² = (a-b)(a+b)

a³+ b³ = (a+b)(a² – ab + b²)

a³- b³ = (a - b) (a² +ab + b²)

a^m - b^m = (a – b)(a^m-1 + a^m-2b+ …+ab ^m-2 + b ^m-1)

(a + b + c)² = a² + b² + c² +2ab + 2ac + 2bc

 

Основное свойство алгебраической дроби:

 ,

 

Действия с корнями

 

- основное свойство радикала

 

 

Уравнения и неравенства

Уравнения

 

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот.

 

Теоремы о равносильных уравнениях

I. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.

Следствия:

1. Одинаковые члены в обеих частях уравнения можно опустить.

2.  Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.

 

II. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение, имеющее смысл и не равное нулю при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.

 

Следствия:

1.Знаки всех членов можно изменить на противоположные.

2.Уравнение, в которых коэффициенты всех или некоторых членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.

Уравнение первой степени

ax – b = 0

 

 

Система двух уравнений первой степени

 

Квадратное уравнение

Неполное квадратное уравнение:

ax² + c =0

Решение:

 

Приведенное квадратное уравнение:

x² + px + q = 0

 

Решение приведенного уравнения:

 

x₁ + x₂ = -p, a x₁x₂ = q(теорема Виета)

 

Полное квадратное уравнение общего вида:

ax² + bx + c = 0

Решение квадратного уравнения:

 

, D= b² – 4ac – дискриминант квадратного уравнения.

Неравенства

 

Свойства неравенств

Если а > b и b > c, то a > c;

если а > b, то а + с > b + с;

если а + b > c, то при a > c – b, а + b – с > 0;

если а > b, то при с > 0, ас > bс, при с = 0, ас = bс; при с > 0, ас < bс;

если а > b, с > d, то ас > bd;

если а > b, с > d, то а + с > b+d;

если а > b, с < d, то а - с > b-d;

если а > b, то аⁿ > b^?, (a, b – положительные, n – натуральные);

если а > b, то , (а,b – положительные, n – натуральные).