Неравенство первой степени

 

aх >b

Если а > 0, x > (b/a):

Если а < 0, x < (b/a)

 

Система неравенств первой степени:

Если а > b, то x > a; если а < b, то x> b

Если а > b, то x < b; если а < b, то x < a

 

Если а > b, то не имеет решений; если а < b, то a<x<b

 

Элементарные функции и их свойства

 

y = f (x)

Область определения - совокупность всех тех значений, которые может принимать аргумент x функции.

Область изменения (значения) – совокупность всех тех значений, которые может принимать сама функция у.

Исследование функции:

 

1. Установить области определения и значения функции: D(f) и E(f).

2. Установить промежутки возрастания и убывания функции.

3. Определить точки экстремума функции, если такие существуют, и вычислить экстремальные ее значения.

4. Выяснить, четная или нечетная данная функция.

5. Выяснить, ограниченная или неограниченная функция.

6. Исследовать функцию на периодичность.

7. Определить, если возможно, нули функции, т.е. значения аргумента, при которых значения функции равны нулю.

8. Заканчивают исследование функции построением ее графика.

Элементарные функции

 

Прямая пропорциональность.

y = ax, а - некоторое данное число, x – аргумент. y = 0,5x

Линейные функции

y = 0,5x + 1(на 1 единицу вверх)

y = 0,5x -1(на 1 единицу вниз)

y = ax +b, x –аргумент, a, b – заданные числа

 

Обратно - пропорциональная зависимость.

 

 

Квадратичная функция 

y = ах² + bх + с, где х – аргумент. Кривая называется параболой.

у = х²

 

                             

 

 

Степенная функция.(y = xⁿ, x – аргумент, n – показатель степени) y = х³

 

График функции y = sin x

График функции y = cos x

Метод математической индукции

 

Аксиома индукции:

Если некоторое утверждение справедливо для n = 1, и, если из допущения справедливости его для какого-нибудь произвольного натурального n= k, следует справедливость  и для n= k +1, то это утверждение справедливо для всякого натурального n.

 

Прогрессия

 

Арифметическая прогрессия  - это числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для этой прогрессии (положительным или отрицательным) числом:

÷ а₁, а₂, а₃ ,…

Разность арифметической прогрессии d – число, которое надо прибавить к какому – нибудь члену, чтобы получить последующий.

Если d>0, то прогрессия возрастающая.

Если d <0, то прогрессия убывающая.

 

Любой член арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n - 1)d;

a_n = (a_n-1+ a_n+1)/2 - среднее арифметическое предыдущего и последующего;

а_n = (a_n-k + a_n+k)/2 – среднее арифметическое равноудаленных членов

Во всякой арифметической прогрессии:

a_m + a_n= a_p + a_q,, если m+n=p+q

Для конечной прогрессии:

a_k+ a_n-k + 1 = a₁ + a_n

Сумма n - первых членов арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия    - это такая числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, умноженному на одно и то же число, постоянное для этой последовательности:

÷ b₁, b₂, b₃, …, b_n, …

Знаменатель геометрической прогрессии q - число, на которое надо умножить любой член геометрической прогрессии, чтобы получить последующий.

Всякий член геометрической прогрессии:

b_n = b₁ q^n-1

Связан с предыдущим и последующими членами зависимостью:

(b_n)²= b_n-1b_n+1

Во всякой геометрической прогрессии

b_mb_n = b_pb_q, если m+n = p+q

Сумма n членов геометрической прогрессии выражается формулой:

 

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, если |q|<1

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

Если q>1, то прогрессия – возрастающая.

Если q<1, то прогрессия – убывающая.