Кусочно-квадратичная аппроксимация

Пусть f(x) задана таблично на [a;b], но n=2m (четно) a≤x₀<x₁<…<x_n≤b

Чтобы функция приближала f(x) наложим ограничения φ(x_i)=y_i=f(x_i), .

Общее число узлов 2n+1, если n-четное.

Для нахождения неизвестных коэффициентов a_k,b_k,c_k необходимо построить 3m условий.

k=1            

 [x₀;x₂]     

 Обобщим, получим систему:

                                          (10.4)

Для нахождения неизвестных имеем 3m условий. При каждом значении  можем построить систему линейных уравнений для a_k,b_k,c_k;

Решать ее можем независимо от остальных условий.

Кусочно- квадратичная φ(x) вида (10.3) внутри интервала (x_2n-2-x_2n),  является непрерывной и дифференцируемой два раза, а в точках x_2i

является непрерывной, но не дифференцируемой.

Определение Сплайна

Пусть на отрезке [a;b] задана некоторая система узлов a₀≤x₀< x₁<…<x_n ≤b

Сплайном S_n(x) называется функция, которая определена на [a;b], l раз непрерывна и дифференцируема на нем, при этом на каждом из отрезков

[х_к-1; х_к], к = , представляет собой многочлен степени m.

Разность (m-1) называется дефектом Сплайна (показывает разность между степенью составляющих его многочленов и степенью гладкости общей функции).

Если сплайн построен по некоторой таблично заданной функции f(x) таким образом, что S(х_i)= f(x_i); x_i, i= - узлы интерполяции, то сплайн называют интерполяционным. Узлы сплайна и узлы интерполяции функции могут не совпадать.

Очевидно, что функция (10.1) является интерполяционным сплайном степени 1, дефекта 1, а кусочно-квадратичная функция (10.3) является интерполяционным сплайном, степени 2, дефекта 2.