2020-01-14
1091
Если функция f(x) ∞-но дифференцируема на [a;b] и в качестве узлов интерполяции берутся корни многочленов Чебышева, приведенные к [a;b], то справедливо:
Т.е имеет место равномерная сходимость последовательности интерполяционного полинома Лагранжа функции f(x).
Теорема Вейерштрасса: для любой непрерывной функции f(x) на [a;b] найдется полином Qn(x), что |f(x)- Рn(x)| < ξ для любой ξ>0, любое хÎ[a;b].
Т.е для любой f(x) непрерывной на [a;b],может быть построена аппроксимирующий наилучший полином, который минимизирует максимальное отклонение между f(x) и Qn(x). Такие полиномы называют многочленами наилучших равномерных приближений.
К сожалению, общий вид таких полиномов и способы построения не известны.
Экономизация степенных рядов
Ряд Тейлора представляет собой локальную аппроксимацию для f(x) степенной функции вида xn можно заменить многочлен Чебышева и получить разложение по этим многочленам вместо степенного ряда:
Такой процесс называется экономизацией степенного ряда.
Разложение по многочленам Чебышева имеет меньшую максимальную погрешность.
ЛЕКЦИЯ №10,11
