Применение теоремы Найквиста

 

В реальной жизни для оценки устойчивости измерение напрямую комплексных величин  и  является затруднительным, но можно использовать косвенные методы, один из которых описан в [6]. С помощью этого метода, измеряя функцию входного сопротивления усилителя можно судить об его устойчивости.

В работе рассмотрен усилитель, собранный по гибридной технологии с использованием высокочастотных транзисторов для поверхностного монтажа (рис.6). Этот усилитель разработан для снятия сигнала с детектора ионизирующего излучения и подсоединяется к детектору через длинную линию (коаксиальный кабель) с волновым сопротивлением . Его собственное входное сопротивление равно  , а емкость детектора .

 

Рис.6 Схема усилителя

 

Эквивалентная схема детектора, длинной линии и усилителя показана на рис.7. Здесь  - импеданс детектора, а  - источник сигнала. Если заменить сопротивление детектора  и волновое сопротивление кабеля  общим сопротивлением , которое легко можно представить в виде

, а источник сигнала представить как  , тогда цепь может быть представлена, как показано на рис.8.

 

Рис.7 Блок-схема цепи детектора

 

 

 

Рис.8 Эквивалентная схема усилителя, соединенного с детектором

 

Очевидно, что для такой схемы справедливо выражение передаточной функции для цепи с обратной связью в виде: . Подставляя в эту формулу выражение для входного сопротивления усилителя , где  - входное сопротивление усилителя без обратной связи, нетрудно получить: . Теперь если предположить, что входное сопротивление усилителя без обратной связи  и внутренний коэффициент усиления  не являются непредсказуемыми величинами (скажем, не равны нулю), то стабильность по Найквисту здесь можно оценить как поведение суммы , которая является детерминатором.

Отсюда можно сформулировать следующее условие:

Система стабильна, если траектория суммы  не огибает критическую точку (0,0) при движении по часовой стрелке.

Эквивалентное сопротивление   является чисто реактивным, так как может быть представлено из индуктивностей и емкостей. Поэтому, если реальная часть   положительна в рабочем диапазоне частот, то огибание критической точки (0,0) суммой  не произойдет. Это означает, что необходимо измерить  и выяснить при каких условиях ее реальная часть меньше нуля.

Измерение входного импеданса (сопротивления)   было осуществлено с помощью спектрального анализатора HP4195A в диапазоне частот от 1MHz до 200MHz. Структурная схема измерения приведена на Рис.9.

 

 

Рис.9 Схема измерения входного импеданса

 

Измерения проводились для двух типов усилителей, когда используются на месте эмиттерного повторителя Q4 (рис.6) более медленный транзистор 2N3906 с граничной частотой f_t=250MHz и более высокочастотный транзистор BF660 с граничной частотой f_t=700MHz. Результаты измерения  приведены на рис.10. Из диаграммы видно, что существует область

 

 

Рис.10 Диаграмма измеренного входного импеданса усилителя в случае использования транзистора 2N3906 (PA1) и транзистора BF660 (PA2)

 

 

Рис.11 Диаграммы входного импеданса усилителя PA1 для различных величин емкости детектора

частот, где реальная часть  меньше нуля или приближается к нему и, если к этой кривой добавить значения  (на рисунке диапазон показан стрелками), то суммарная кривая может охватить критическую точку. Далее были посчитаны значения  для реальных величин емкости детектора и длины кабеля и построены графики суммы  (рис.10,11,12). В случаях, когда кривая суммы огибает критическую точку, усилитель должен быть нестабильным, что и было подтверждено при измерении выходного сигнала с помощью цифрового осциллографа (рис.13,14).

 

 

 

Рис.12. Диаграммы входного импеданса усилителя PA1 для различных длин кабеля

 

 

 

Рис.13 Осциллограммы выходного сигнала усилителя PA1 для различных длин кабеля с емкостью детектора 330pF.

 

Рис.14 Осциллограммы выходного сигнала усилителя PA1 и PA2 для различных емкостей детектора

В этой работе показано, что стабильность усилителя хорошо согласуется с диаграммами Найквиста. Также показано, что для определения стабильности усилителя не обязательно разрывать его обратную связь, чтобы измерить , тем более это невозможно, например, для твердотельного усилителя. В некоторых случаях применимы только косвенные методы такие, как метод описанный выше.

 

Диаграммы Боде.

 

Оценка устойчивости усилителей с помощью диаграмм Боде мало отличается от критерия Найквиста, но чуть более наглядна в графическом представлении. В данном случае одновременно рассматриваются амплитудные и фазовые характеристики обратной связи. В качестве амплитудной характеристики используется обычно петлевое усиление в частотной области , представленное в виде , а фазовой - соответственно фаза . Условие устойчивости достигается, если при изменении частоты  в диапазоне от 0 до ∞ фаза не достигает величины , а модуль петлевого усиления при этом становиться меньше 1 (рис.15).

 

 

 

Рис.15 Амплитудно-частотная и фазовая характеристики

устойчивого усилителя

 

 

 

 

-4p

 

Рис.16 Амплитудно-частотная и фазовая характеристики

неустойчивого усилителя

 

На рис.16 показан пример неустойчивого усилителя. При достижении петлевого усиления величины 1 (значение ) его фаза уже поворачивается больше, чем на 2p.

    Это условие устойчивости можно легко объяснить тем, что при повороте фазы на 180° обратная связь вместо отрицательной становится положительной, т.е. возмущение на выходе увеличивает возмущение на входе.