Некоторые вопросы теории выпуклых функций

Выпуклые функции определяются по-разному, но наиболее естественным, пожалуй, является основанное на геометрических соображениях такое

Определение. Функция называется выпуклой вниз (вверх) на промежутке X, если любая хорда кривой лежит не ниже (не выше) дуги, которую эта хорда стягивает.

Далее будем рассматривать выпуклые вниз функции, а все результаты для выпуклых вверх функций при желании можно получить простым обращением знака в неравенствах.

Теорема 7 (неравенство Иенсена). Для того, чтобынепрерывнаяфункция была выпуклой вниз на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство для всех и , , .

Доказательство[2]. Выясним вначале, что геометрически означает указанное неравенство при n=2. Любая точка может быть представлена в виде , где , . Так как концы хорды – это точки и , то точка хорды с абсциссой x имеет ординату . Таким образом неравенство означает, что при точка графика функции лежит не выше соответствующей точки хорды, и это верно для любой точки хорды, так как мы берём любые p_i при условии , .

И поэтому для непрерывной функции определение выпуклости вниз и данное неравенство при n=2 эквивалентны.

Покажем сейчас, что это неравенство справедливо и для любого числа точек. Рассуждаем по индукции. Если , то

и т.д.

Верно и обратное, если неравенство выполняется для какого-то n>2, то оно выполняется и для n=2.

Действительно, перепишем и возьмём для . Тогда , где , и .

Очевидно, если все равны друг другу, то мы получаем равенство в нашем неравенстве. В противном случае равенствопри n=2 () означает, что любая хорда кривой совпадает с дугой, которую эта хорда стягивает, то есть функция линейна. Мы можем поэтому сделать следующее

Замечание. Если функция не линейна на промежутке X, то равенство в неравенстве Иенсена достигается только тогда, когда все равны друг другу.

Таким образом определение выпуклой функции и данное неравенство для любого n эквивалентны. Поэтому выполнимость неравенства, если необходимо, мы можем считать аналитическим определением выпуклой функции.

Теорема 8 (аналог неравенства Иенсена). Для выпуклой вниз на отрезке функции справедливо неравенство

для всех и , , .

Доказательство. Представив , , где , докажем вначале вспомогательное утверждение. Справедливо неравенство , . Действительно,

Теперь имеем:

Равенство в нашем неравенстве достигается только тогда, когда обеспечивается равенство в каждой из произведённых оценок. Поэтому, если функция не линейна, то равенство будет только тогда, когда равны либо , либо , что следует из условия , и только тогда, когда все равны друг другу, что следует из условия . В результате мы имеем такое

Замечание. Если функция не линейна на , то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны a или все равны b.

И важная для практического применения теорем 7 и 8, позволяющая определять выпуклость достаточно широкого класса функций

Теорема 9 (достаточный признак выпуклой функции). Если функция дважды дифференцируема в некотором интервале и (), то выпукла вниз (вверх) на этом интервале.

Доказательство[4]. Если , то , и по формуле Тейлора . Умножая на p_i и складывая эти равенства, мы получаем , а отсюда в силу заключаем, что .

Теперь приведём определение выпуклой функции от двух переменных и сформулируем аналогичные утверждения, доказательства которых будут теми же, если не считать очевидных изменений в обозначениях.

Определение. Функция называется выпуклой вниз (вверх) в выпуклой области D (то есть области, целиком содержащей отрезок, соединяющий любые её точки), если любая хорда поверхности лежит не ниже (не выше) соответствующей дуги на поверхности, которую эта хорда стягивает.

Теорема 10 (неравенство Иенсена). Для того, чтобынепрерывная функция была выпуклой вниз в области D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство для всех и , , .

Теорема 11 (аналог неравенства Иенсена). Для выпуклой вниз в прямоугольной области , , функции справедливо неравенство

для всех , , , , .

Теорема 12 (достаточный признак выпуклой функции). Если функция дважды дифференцируема в некоторой открытой области и , , , , , то выпукла вниз (вверх) в этой области.

Сейчас на основе доказанных теорем перейдём непосредственно к обобщениям неравенств Коши и Гёльдера и их аналогам.

2. Обобщение неравенства Коши и его аналог

Известное неравенство Коши или говорит о том, что среднее геометрическое и среднее арифметическое сравнимы для любых чисел x_i>0 и любых весов , , .

Возникает вопрос, будут ли сравнимы квази-средние, их обобщающие, то есть справедливо ли неравенство ≤ , или ≤ .

Теорема 13 (о сравнении квази-средних). Для того, чтобы выполнялось неравенство ≤ , или ≤ для всех , , , необходимо и достаточно, чтобы функция была выпуклой вниз, если возрастает, или выпуклой вверх, если убывает.

Доказательство[2]. Пусть возрастает. Тогда из неравенства ≤ следует . Обозначая и , получаем ≤ , то есть мы просто переписываем неравенство ≤ в другой форме. Новое же неравенство по теореме 7 справедливо тогда и только тогда, когда функция , или выпукла вниз.

При убывании рассуждаем аналогично.

Замечание. Если , где , на некотором промежутке, содержащем все , то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны друг другу.

Действительно, пусть = . Тогда = , и поэтому если функция не линейна, то есть , или , то равенство достигается только тогда, когда все все , а следовательно, и , равны друг другу.

Отметим, что данное замечание даёт другое доказательство теоремы 4 о тождественных квази-средних.

Теорема 14. Для того, чтобы выполнялось неравенство ≤ для всех и , , , достаточно, чтобы функция была выпуклой вниз, если возрастает, или выпуклой вверх, если убывает.

Доказательство. Точно так же, как и в предыдущей теореме, приводим данное неравенство к неравенству (или ему обратному при убывании ), которое по теореме 8 вновь верно при условии, что функция , или выпукла вниз (вверх()овь верно при тех же условиях________________________________________________________________________________________________).

Замечание. Если , где , на отрезке , то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны a или все равны b.

Теорема 13 позволяет нам как частные случаи получить известные неравенства для средних степенных [3]. Приведём эти неравенства.

Пример 1 (неравенство, характеризующее свойство монотонности среднего степенного). Для , , 0< r<s функция выпукла вниз (так как её вторая производная неотрицательна), и поэтому , где , , , , или .

Пример 2 (неравенство Коши). Для и функция выпукла вниз, и поэтому , где , , , или .

Пример 3 (неравенство Гюйгенса). Для и функция выпукла вниз, и поэтому , где , , , или .

Пример 4 (неравенство Бернулли). Для и функция выпукла вниз, и поэтому , где , , , или . В частности, если положить , , , то получим так называемое обобщённое неравенство Бернулли ().