Определение структуры и местоположения эффективного множества

 

Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, ко­торые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Мар­ковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие2. бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффектив­ных портфелей. Метод решения включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий (critical-line method).

Рассмотрим портфель из трех акций. Проведем оценку вектора ожидаемых доходностей, обозначенного как ER, и ковариационной матрицы, обозначенной как V С:

     16,2                         146 187 145

ER = 24,6              VC = 187 854 104

      22,8                         145 104 289

 

Затем через алгоритм определяется количество «угловых» портфелей, которые свя­заны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угло­вой» портфель — это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходно­стью. Данный портфель соотносится с точкой S на рис. 1 и является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой до­ходностью. То есть если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он дол­жен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Лю­бой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже S.

Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Baker. Соответствующим эффективным портфелем будет первый «угловой» портфель, опре­деленный алгоритмом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозна­ченным Х(1):

        0,00

Х(1) = 1,00

        0,00

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доход­ностью и стандартным отклонением акций Baker и соответственно составляют 24,6% и (854)^1/2, или 29,22%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(1).

Затем алгоритм определяет второй «угловой» портфель. Данный портфель распо­лагается на эффективном множестве ниже первого «углового» портфеля. Его состав определяется следующим вектором весов, обозначенным Х(2):

        0,00

Х(2) = 0,22

        0,78

То есть второй «угловой» портфель представляет собой портфель, в котором инвестор вкладывает 22% своих фондов в обыкновенные акции компании Baker, a 78% в обык­новенные акции компании Charlie. Ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного «углово­го» портфеля, которые составляют соответственно 23,20 и 15,90%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(2).

Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными (adjacent) портфелями и любой эффективный портфель, ле­жащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов. Например, эффективный портфель, лежащий посере­дине между ними, будет иметь следующий состав:

                                            0,00       0,00 0,00

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(2)] = 0,5* 1,00 + 0,5* 0,22 = 0,61

                                   0,00       0,78 0,39

 

 

Рис. 8.13. «Угловые» портфели

Таким образом, веса распределены следующим образом: 0,61 — в акции Baker и 0,39 — в акции Charlie. Ожидае­мую доходность и стандартное отклонение данного портфеля составляют 23,9 и 20,28% соответственно.

Определив второй «угловой» портфель, алгоритм затем определяет третий. Он имеет следующий состав:

       0,84

Х(3) = 0,00

       0,16

Эти веса теперь могут быть использованы для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения данного портфеля, которые равны соответственно 17,26 и 12,22%. Как и два предыдущих, данный «угловой» портфель является эффективным и обозначается С(3) на рис. 13.

Поскольку второй и третий портфели являются смежными, то любая их комбина­ция является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными. Например, если инвестор вкладывает 33% своих фондов во второй «угловой» портфель, а 67% — в третий, то в результате получается эффективный портфель со следующим составом:

                                                 0,00         0,84 0,56

[0,33*Х(2)] + [0,67*Х(3)] = 0,33* 0,22 + 0,67* 0,00 = 0,07

                                        0,78         0,16 0,36

Данный портфель имеет ожидаемую доходность 19,10% и стандартное отклонение 12,88%.

Комбинация «угловых» смежных портфелей может дать эффективный портфель. Это означает, что портфели, представляющие собой ком­бинацию двух несмежных «угловых» портфелей, не будут принадлежать эффективному множеству. Например, первый и третий «угловые» портфели не являются смежными, следовательно, любой портфель, представляющий собой комбинацию двух данных, не будет являться эффективным. Например, если инвестор вложит 50% своих фондов в первый «угловой» портфель, и 50% — в третий, то результирующий портфель будет иметь следующий состав:

                                            0,00       0,84 0,42

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(3)] = 0,5* 1,00 + 0,5* 0,22 = 0,50

                                   0,00       0,16 0,08

 

При данных весах ожидаемая доходность и стандартное от­клонение данного портфеля равны 20,93 и 18,38% соответственно. Однако это неэф­фективный портфель. Так как его ожидаемая доходность (20,93%) лежит между ожида­емой доходностью второго (23,20%) и третьего (17,26%) «угловых» портфелей, то с помощью комбинации этих двух смежных портфелей инвестор имеет возможность сфор­мировать эффективный портфель, имеющий такую же ожидаемую доходность, но мень­шее стандартное отклонение.

Далее алгоритм определяет состав четвертого «углового» портфеля:

       0,99

Х(4) = 0,00

       0,01

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение, рав­ны 16,27% и 12,08% соответственно. Определив данный портфель, соответствующий точке Ј на рис. 1 (и С(4) на рис. 13), имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается. Четыре «угловых» портфе­ля, объединенных в табл. 1, полностью описывают эффективное множество, связан­ное с акциями Able, Baker и Charlie.

Изображение графика данного эффективного множества является простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может опре­делить состав и соответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из 20 эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым «уг­ловыми» портфелями. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соответст­вующие данным портфелям. Это придаст графику вид изогнутой линии, показанной на рис. 13, так как данные портфели расположены близко друг к другу.

Таблица 1.

 

«Угловые» портфели в случае трех ценных бумаг

«Угловые» портфели	Able	Baker	Charlie	Ожидаемая доходность	Стандартное отклонение
С(1)	0,00	1,00	0,00	24,60%	29,22%
С(2)	0,00	0,22	0,78	23,20	15,90
С(3)	0,84	0,00	0,16	17,26	12,22
С(4)	0,99	0,0	0,01	16,27	12,08

 

Продолжая можно построить 20 эффективных портфелей между вторым и третьим «угловыми» портфелями, а затем соответствующий сегмент эффек­тивного множества. После того как данная процедура будет выполнена для следующего промежутка между третьим и четвертым «угловыми» портфелями, график будет пол­ностью построен.