Решение задачи обеспечения прямых показателей качества

 При невозможности решить задачу повышения запасов устойчивости в рамках имеющейся системы приходится идти на изменение структуры, т.е. вводят корректирующие звенья в систему. Для решения этой задачи будем использовать метод академика Солодовникова. С помощью этого метода мы синтезируем новое звено в сервоприводе. При этом структура корректирующего звена неизвестна, необходимо с помощью метода ЛАЧХ Солодовникова выбрать звено таким образом, чтобы прямые показатели качества были бы не хуже заданным по ВЗ.

Структурная схема САУ сводится к виду

Такое приведение схемы может быть сделано, так как передаточная функция обратной связи W₈ является безинерционным звеном. Обозначим произведение передаточных функций прямой цепи, как передаточную функцию неизменяемой части системы:

 

 

 

Структурную схему можно представить в следующем виде:

 

 

Рисунок 3.3 - Структурная схема САУ

 

В соответствии с этой схемой желаемая передаточная функция системы будет иметь вид:

 

Если перейти от передаточной функции к логарифмическим амплитудно-частотным характеристикам, то справедлива следующая запись:

 

  ЛАЧХ неизменяемой части системы Lн не представляет сложности при построении, так как мы имеем передаточную функцию неизменной части системы. Метод Солодовникова позволяет определить желаемую ЛАЧХ.

Неизменная часть будет иметь вид:

 

 

Желаемая ЛАЧХ состоит из 3-х частей:

1. низкочастотная – отвечает за точность системы;

2. среднечастотная – отвечает за качество системы;

3. высокочастотная – строится для удобства.

Для определения вида среднечастотной части ЛАЧХ W_ж используется прямой критерий качества. Перерегулирование взятое из ВЗ, s =5. По номограмме Солодовникова определяются частота положительности w_п и Р_max и определяют частоту среза.Зная значение перерегулирования, мы из точки равнойs =5 проводим перпендикуляр до пересечения с прямой и от этой точки опускаем перпендикуляр вниз и определяем значение Р_max=1.0. Затем из этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с другой прямой и под прямым углом опускаем прямую и определяем , откуда мы определяем, что К=3, т.к.

.

Теперь мы определяем

 

Частота среза:

Используя значения Р_max по номограммам определяем коридор ограничения средней части ЛАЧХ. Lз = ± 15 дБ. После построения желаемой ЛАЧХ, графически определяем вид корректирующего звена.

В приложении А приведены построения, которые выполняются следующим образом:

· Используя значения Рmax по номограммам определяем коридор ограничения средней части ЛАЧХ.

· На ЛАЧХ выделяем частоту среза. Через точку, соответствующую частоте среза, под наклоном -20 дБ, до пересечения с коридором проводим линию средне частотной желаемой ЛАЧХ, обеспечивающую запас устойчивости по амплитуде.

· Построение низкочастотной ЛАЧХ выполняется следующим образом:

Требования к точности системы были уже учтены в неизменяемой части системы за счет изменения коэффициента К, следовательно, в низкочастотной части желаемая и неизменяемая части должны совпадать. При этом их сопряжение производится за счет достройки фрагментов ЛАЧХ желаемой системы с наклоном кратным 20 дБ/дек.

· Построение высокочастотной желаемой ЛАЧХ. Предполагается из удобства построения корректирующего звена задавать формой, совпадающей с формой высокочастотной ЛАЧХ неизменяемой части. Добавляется ω4, ω5, ω6.

· После построения желаемой ЛАЧХ, графически определяем вид корректирующего звена. График ЛАЧХ приведён в приложении А.

· Переходим от ЛАЧХ корректирующего звена к передаточной функции корректирующего звена. Для этого надо перейти от частот к постоянным времени – T₄, Т₅, Т₆.

 

Передаточная функция корректирующего звена имеет следующий вид:

Тогда корректирующее звено будет иметь вид, если подставить значения Т_n:

 

Проверка правильности выбора корректирующего звена.

Необходимо получить передаточную функцию замкнутого скорректированного контура сервопривода, она имеет следующий вид:

 

Подставив значения передаточных функций, получим следующее выражение:

 

По передаточной функции замкнутого скорректированного контура строим переходный процесс, по которому определяем прямые показатели качества, которые должны совпадать или быть не больше заданных показателей качества.

 

Рисунок 3.4 - График переходного процесса для скорректированного замкнутого контура

 

Из переходного процесса определим показатели качества:

1. время регулирования tр = 0,02 (с)

2. перерегулирование

Показатели удовлетворяют начальным показателям качества:

- время регулирования t_P= 0.15c

- перерегулирование σ =2,9%

Определение параметров корректирующего звена.

Так как корректирующее звено имеет сложную передаточную функцию, и нет такого элементарного звена, основываясь на котором можно было бы реализовать звено коррекции, то будем составлять его из нескольких составляющих. Так как передаточные функции последовательно соединённых звеньев перемножаются, а ЛАЧХ складываются, то составим необходимое звено из трёх дифференцирующих звеньев с включением между ними согласующего операционного усилителя.

Для того, чтобы получить электрическую схему корректирующего устройства, необходимо ЛАЧХ корректирующего звена разбить на несколько простейших ЛАЧХ. Это разбиение представлено в приложении Б. Схемы корректирующих устройств, соответствующих ЛАЧХ, приведены в [2] том 2.

Дифференцирующее звено:

 

 

 

Рисунок 3.5 – Схема корректирующего устройства

 

T1 = R1×C1 T2 = R1×T1/(R1+R2)

L_о = R1 /(R1+R2)

Усилительное звено:

Так как в дифференцирующем звене присутствует ослабление необходимо согласующий усилитель представить как усилитель сигнала

 

Рисунок 3.6 – Усилительное звено

 

Структурная схема реализации корректирующего звена будет иметь следующий вид:

Найдём коэффициент К усилителя

 

G = 20lgK

K = 10^G/20

К =

Д-РАЗБИЕНИЕ

 

После получения и исследования скорректированного сервопривода, можно исследовать следящие систему, но нам ещё не известен параметр К – регулятор положения. Исходя из требований устойчивости исследуемой САУ, проводим Д – разбиение по одному параметру и определяем диапазон изменения К, при которых система будет асимптотически устойчивой (неустойчивой).

Рассмотрим следующую систему:

К – регулятор положения;

Φ_{1 ск} – скорректированный сервопривод;

W₇(s) – передаточная функция механической передачи

  Найдем все интервалы изменения параметра К, при которых заданная следящая система промышленного робота будет оставаться устойчивой, поэтому необходимо определить области устойчивости САУ в пространстве параметра К. Построим область

 

 

замкнутая система следящего сервопривода будет выглядеть следующим образом

 

 

 

приравняем характеристический многочлен к нулю, откуда найдем коэффициент усиления по параметру положения.

 

 

заменяем s = jω и получаем действительную и мнимую части

 

 

Теперь строим годограф Д – разбиения по параметру К

 

Рисунок 4.2 - График годографа Д –разбиения по параметру К

Заштрихуем области слева по ходу движения частоты w. Из графика видно, что область I [0.. 950] является областью – претендентом на устойчивость.

Проведём исследование характеристического многочлена Q(s) по критерию Рауса. Для этого необходимо взять только одно значение из отрезка [0.. 950], так как в заштрихованной области количество левых и правых корней характеристического полинома Q(s) остается постоянным. Возьмем К=600, тогда:

 

 

По критерию Рауса составляем таблицу чисел по полученному многочлену Q(s).

 

 

 

 

 

 

 Для того, чтобы многочлен был устойчив, необходимо и достаточно, чтобы алгоритм построения таблицы Рауса был регулярным, и все числа в первом столбце были одного знака. Все числа первого столбца должны быть положительными.

 В нашем случае все условия критерия выполняются, т. е. алгоритм построения таблицы Рауса регулярен, и все числа в первом столбце – одного знака и положительны, то можно сделать вывод, что система устойчива. Поэтому интервал[0.. 950] можно считать устойчивым.

 Подберем такое К при котором прямой показатель качества – колебательность – не превышает заданного придела μ =1,5. К=165

 

 

 

Рисунок 4.3 - График переходного процесса при К=165

 

Возьмем пять значений параметра К из этого интервала[0.. 950]. Это делается для анализа показателей качества. К=100

Рисунок 4.4 - График переходного процесса при К = 100 t_P = 0.5, σ = 1,19 К = 150

Рисунок 4.5 - График переходного процесса при К = 150, t_P = 0.30, σ = 1,25 К = 180

Рисунок4.6 - График переходного процесса при К = 180

К=200

Рисунок4.7 - График переходного процесса при К = 200, t_P = 0.25, σ = 1,35

 

К=400

Рисунок 4.8 - График переходного процесса при К = 400, t_P = 0.52, σ = 1,6

В результате построений переходных процессов при различных К можно сделать вывод, что при увеличении К перерегулирование будет увеличиваться; время регулирования при К = 100, К =150, К = 180 будет уменьшатся до К = 200, а после при К = 400 оно снова будет возрастать.