Математические модели отдельных звеньев системы

 

В данном пункте курсовой работы стоит задача получить математическое описание двигателя постоянного тока. Структурная схема двигателя постоянного тока представлена на рисунке 3.1.

 

                                                    Мс(s)

 

Рисунок 2.1 - Структурная схема двигателя постоянного тока

 

С учетом обозначения сигналов на функциональной схеме, во временной области математические модели можно записать следующим образом:

 

где ω – угловая скорость вращения вала двигателя;

     J – момент инерции всех вращающихся частей;

    E(w) – ЭДС;

    Mс - момент сопротивления на валу двигателя

    Mд – вращающий момент (динамический момент сил)

Разрешим каждое из уравнений относительно производных: выражаем производные и получаем систему дифференциальных уравнений:

 

 

Так как Мд и E(w) являются нелинейными, то необходимо выполнить линеаризацию. Принимая i=iя₀; U=Uяo; w=wo; Mc=Mco;

Раскладываем в ряд Тейлора и получаем:

 

Получаем:

 (1)

 

Так как в установившемся режиме все производные равны нулю, то можем переписать систему в следующем виде:

 

 (2)

Обозначим, что:

 

Теперь, чтоб получить линеаризованную модель, почленно вычитаем из (1) (2):

 

 

Считая отклонения ΔUя, Δiя, Δw малыми величинами, можно записать:

 

 

Применяя преобразование Лапласа, можно получить данную систему уравнений в операторной форме:

 

(3)

 

Теперь получим выражения для передаточных функций W4, W5, W6 в операторной форме. Введем обозначения:

 

 

Тогда получаем выражение для передаточной функции W4(s) и в соответствии с вариантом задания записываем её вид:

 

 

Передаточная функция W5(s) получается из второго уравнения (3):

 

 

Передаточная функция W6(s):

 

 

Теперь, принимая во внимание момент Mc.

Найдем передаточную функцию Wc c помощью второго уравнения (3): принимая ток якоря =0

 

 

Теперь можно получить выражение для передаточной функции двигателя по управлению.

 

 

Приводим к виду:

 

 

 

Находим корни характеристического полинома: S₁=-10,5 S₂=-22,8

Можно сделать вывод, что т.к. корни оба левые, то полином устойчив.

Структурная схема системы в целом будет иметь вид, представленный на рисунке 4.1:

Рисунок 2.2 – Структурная схема всей системы в целом

 

Здесь на схеме указаны следующие передаточные функции:

W₁(s) = k – коэффициент усиления по параметру положения;

W₂(s) - передаточная функция корректирующего звена;

W₃(s) - передаточная функция усилителя-преобразователя (блок УПЭ2 на рисунке 2.1);

W₄(s), W₅(s), W₆(s) - передаточная функция двигателя постоянного тока (блок ИД);

W₇(s) – передаточная функция механической передачи (блок МП);

W₈(s) - передаточная функция измерителя скорости (блок ДС);

W₉(s) - передаточная функция датчика углового положения (блок ДП).

W₃(s) = Кп = 4

W₇(s) = 1/ (60*s)

 W₈(s) = Ктг = 0,07

W₉(s) = Кос = 1

Формулы для остальных передаточных функций, фигурирующих в данной схеме, записаны выше.