Производная скалярного поля по направлению

Производной скалярной функции U = f(x;,y; z) по направлению вектора

M₀(x₀; y₀; z₀) называется предел, если он существует, отношения приращения Δ U₀ функции при смещении из точки M₀(x₀; y₀; z₀) в направлении вектора  в точку M₁(x; y; z) к величине этого смещения , когда ρ → 0, то есть

Следовательно,  характеризует скорость изменения величины U в точке M₀ в направлении вектора .

Очевидно, что функция U имеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точке M. Получим формулу для вычисления производной по направлению. Так как

где величины x₀, y₀,z₀, cos α, cos β, cos γ фиксированы, то U(M₁) есть функция только смещения ρ

Обозначим эту функцию

При ρ = 0 имеем ψ(0) = U(x₀, y₀, z₀) = U(M₀). Следовательно:

Т. е. получим формулу:

выражающую производную от функции U = f(x;,y; z) по направлению вектора