Градиент скалярного поля

Пусть задано скалярное поле U = f(x; y; z). Градиентом скалярного поля U = f(x; y; z) в точке M(x; y; z) называют вектор

Если функция U = f(x; y; z) имеет частные производные U'_x, U'_y, U'_z в каждой точке некоторой области, то скалярное поле порождает в этой области векторное поле . Преобразуем формулу для вычисления производной по направлению:

Угол между векторами  и  обозначим через φ, тогда скалярное произведение  равно  но  Значит:

т.е. производная скалярной функции U = f(x; y; z) в точке M в направлении вектора  равна проекции  на направление вектора

Из формулы () следует, что, когда направление вектора  совпадает с направлением вектора , производная по направлению  имеет своё наибольшее значение, т. е. вектор , вычисленный в точке М, показывает направление наибольшего возрастания скалярного поля, и скорость его возрастания равна

В направлении, перпендикулярном направлению , как это следует из формулы (), , т. е. в этом направлении из точки М поле не меняется.

Вспомним, что, если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0, нормаль к поверхности в точке M₀(x₀,y₀,z₀) может быть задана уравнением:

Теперь для скалярной функции U = f(x, y, z) построим поверхности уровня f(x, y, z) = C, тогда уравнение нормали к поверхности уровня в точке M₀(x₀, y₀, z₀) запишется:

т.е. имеет направляющий вектор

Следовательно, вектор  есть вектор, перпендикулярный поверхности уровня функции U = f(x, y, z).

Свойства градиента функции:

1˚ Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

§3. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ЦИРКУЛЯЦИЯ

Одной из характеристик стационарного векторного поля служат векторные линии.

Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.

Пусть задано векторное поле

тогда вектор

коллинеарен вектору поля   т. е.

Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:

Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля  (рис. 10).

Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками

А = М₀, М₁,..., М_i-1, М_i,..., М_n = В.

Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности  можно считать, что на каждой элементарной дуге сила  является постоянной и равна своему значению  в некоторой точке N_i,

При этих предположениях элементарная работа ΔA_i, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги М_{i - 1} М_i, приближённо равна скалярному произведению

Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой

Обозначим через λ длину наибольшей из хорд    Тогда

Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который в координатной форме имеет вид:

и который называют линейным интегралом вектора _{( x; y; z )}  вдоль линии L.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля  по контуру L и обозначают:

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Т.к.

где  - проекция вектора  на касательную τ, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство можно записать в виде:

или

Это выражение имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы  поля при перемещении материальной точки вдоль L.

Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, т.к. в каждой точке векторной линии скалярное произведение  сохраняет знак: «+» - если направление вектора  совпадает с направлением обхода векторной линии; «–» - в противном случае.