Преобразование суммы синусоидальных токов

Пусть в некотором узле электрической цепи выполняется следующее соотношение между токами

где и - известные синусоидальные токи:

Ток можно определить по формулам тригонометрии. Это можно сделать и с помощью комплексных чисел. Сопоставим синусоидальным токам и комплексные токи и , затем найдем сумму комплексных токов и, наконец, найдем синусоидальный ток , соответствующий комплексному току . В обоих случаях получается один и тот же результат.

Эквивалентность двух способов, которыми можно вычислить сумму синусоидальных токов, можно иллюстрировать следующей схемой:

Символ взаимно однозначного соответствия синусоидальных и комплексных токов в нижней строке схемы показывает, что по этой схеме можно определять не только сумму синусоидальных токов, но и сумму комплексных токов, соответствующих заданным синусоидальным токам. Число слагаемых в этой схеме (то есть число синусоидальных токов и соответствующих им комплексных токов) можно увеличить и перед каждым слагаемым поставить плюс или минус. Тогда получается, что любой алгебраической сумме синусоидальных токов можно поставить в соответствие аналогичную сумму комплексных токов и результаты суммирования соответствуют друг другу (по правилам И 4.3).

И 4.4

Теорема. Если синусоидальным токам

,...,

соответствуют комплексные токи

, …,

, то сумме синусоидальных токов, то есть току

+…+

, соответствует сумма комплексных токов, то есть комплексный ток

+…+

Доказательство связано с громоздкими выкладками и не содержит поучительных идей. Ниже оно приводится для случая, когда суммируются два тока.

Заданные токи и по теореме о синусе суммы можно представить в виде линейной комбинации функций и , и после этого найти сумму токов, которая также оказывается линейной комбинацией синусоиды и косинусоиды. Эту линейную комбинацию по формулам (3.18) и (3.19) можно преобразовать в синусоиду с некоторой начальной фазой