Символический метод расчета
Электрических цепей переменного
Синусоидального тока
КОМПЛЕКСНЫЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Математическое введение (формула Эйлера)
Между синусоидальными и экспоненциальными (показательными) функциями существует простая зависимость, которая получила название формулы Эйлера,
,
где - мнимая единица. В частности, если ,
то
или
.
Формула Эйлера применяется для перевода комплексных чисел из показательной формы в алгебраическую. В показательной форме комплексное число содержит модуль z и аргумент :
.
В алгебраической форме комплексное число имеет действительную часть x и мнимую часть y:
.
Очевидно, что
, . (4.1)
Решив эти уравнения относительно и , получаем формулы для перевода комплексных чисел из алгебраической формы в показательную
, . (4.2)
В задачах электротехники пределы изменения обычно выбирают в пределах от до и вычисляют по формуле
Для запоминания формул (4.1) и (4.2), предназначенных для перевода комплексных чисел из одной формы записи в другую, можно использовать треугольник, похожий на треугольник сопротивлений (рис. 4.1).
|
|
Рис. 4.1. Треугольник, иллюстрирующий зависимости между действительной и мнимой частями комплексного числа, с одной стороны, и его модулем и аргументом, с другой стороны
Комплексный ток
В электрической цепи с источником синусоидального напряжения протекают синусоидальные токи. Пусть один из них равен
,
где I - действующее значение тока. Запишем соответствующую косинусоидальную функцию
.
Затем с помощью формулы Эйлера составим комплексную функцию
.
Множитель одинаков для всех токов цепи. Комплексное число характеризует ток рассматриваемой ветви.
И 4.1 | Определение. Комплексное число называют комплексным током. Модуль комплексного тока равен действующему значению синусоидального тока, аргумент комплексного тока – начальной фазе синусоидального тока. |
Комплексное напряжение
Синусоидальному напряжению можно сопоставить комплексное напряжение аналогично тому, как синусоидальному току был поставлен в соответствие комплексный ток:
.
Здесь U – действующее значение напряжения; - его начальная фаза.
И 4.2 | Определение. Комплексное число называют комплексным напряжением. Модуль комплексного напряжения равен действующему значению синусоидального напряжения, аргумент комплексного напряжения – начальной фазе синусоидального напряжения. |
Преобразование синусоидальных токов и напряжений в комплексные числа (комплексные токи и напряжения) позволяет преобразовать тригонометрические уравнения, составленные по законам Кирхгофа для синусоидальных токов и напряжений, в алгебраические уравнения для комплексных токов и напряжений. Благодаря тому, что в уравнениях для комплексных токов можно опустить множитель , общий для всех токов, решение алгебраических уравнений оказывается не столь громоздким, как решение тригонометрических уравнений. Решив систему уравнений Кирхгофа относительно комплексных токов, можно затем по комплексным токам определить синусоидальные токи.
|
|