Общие правила комбинаторики

Определение 1. Произведение первых натуральных чисел называется факториалом числа и обозначается символом (читается «эн факториал»).

(1)

Приведем некоторые значения факториала:

Рассмотрим множеств , содержащих по элементов соответственно. Выбирается по одному элементу из каждого множества и составляется еще одно множество. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, равно произведению . В этом состоит принцип произведения комбинаторики.

В задачах теории вероятностей часто рассматриваются различные соединения (комбинации, наборы) элементов из множества, содержащего элементов . Будем рассматривать такие соединения, в которые каждый элемент данного множества может входить не более одного раза, то есть соединения без повторений. Рассмотрим три вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Определение 2. Размещениями из элементов по элементов называются наборы элементов, отличающиеся один от другого или самими элементами (составом элементов), или их порядком. Число размещений обозначается .

Число размещений из элементов по элементов находится по формуле:

. (2)

Определение 3. Перестановками из данных элементов называются наборы из элементов, отличающиеся только их порядком.

Перестановки – это частный случай размещений. Число всех перестановок обозначают символом . Число найти несложно. Для этого в формулу (2) подставляем .

Определение 4. Сочетаниями, содержащими элементов, выбранных из элементов заданного множества, называются всевозможные наборы элементов, различающиеся хотя бы одним элементом. Число сочетаний из элементов по элементов обозначают или .