Основные понятия теории вероятностей

Определение 1. Результат некоторого опыта или эксперимента, который нельзя заранее предсказать назовем случайным событием.

События обозначаются большими латинскими буквами: Примеры наиболее часто встречающихся испытаний и событий приведены в таблице 1.

Определение 2. Достоверным назовем событие, которое обязательно произойдет в результате опыта.

Например, из урны с 20 красными шарами обязательно будет вынут красный шар.

Определение 3. Невозможным назовем событие, которое заведомо не произойдет в результате опыта.

Например, из урны с 20 красными шарами не будет вынут зеленый шар.

Таблица 1

Испытания

События

1. Бросание монеты. 2. Бросание игральной кости. 3. Извлечение карты из колоды. 4. Извлечение шара из урны. 5. Стрельба по мишени. 6. Учащийся отвечает на вопросы теста. 7. Сажаются 10 семян томата определённого сорта.

1. Выпал герб (орёл); выпала цифра (решка). 2. Выпало 5 очков; выпало 3 очка; выпало чётное число очков; выпало не менее 3-х очков,... 3. Извлекли бубновую карту; достали туза; вытащили даму пик; извлекли карту не старше дамы, … 4. Извлекли белый шар; извлекли зелёный шар; вытащили шар с номером 2; … 5. Попадание; промах; выбито 9 очков, … 6. Правильно ответил на все вопросы; на половину вопросов; хотя бы на один вопрос; … 7. Взойдут 9 семян; все взойдут; взойдет не менее 5 семян;..

Очевидно, что ряд таких примеров можно продолжать долго. В разряд испытаний можно отнести процессы, с которыми сталкиваемся достаточно регулярно, например: наблюдение за погодой (здесь событиями являются – ясный день, дождь, снег, ветер и т.д.); выход на работу в определенный день (приход на работу вовремя; опоздание; отгул и т.д.); нахождение в неблагоприятных условиях, при которых можно получить некоторое заболевание (заразиться гриппом; простыть на сквозняке; получить профзаболевание или травму на производстве и т.д.)

Определение 4. События и называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого, в противном случае события называются совместными.

Рассмотрим пример. Из колоды карт извлекается одна карта. События: – из колоды вынута крестовая карта, – из колоды вынута бубновая карта, – из колоды вынута дама.

События и – несовместные. События и – совместные, так как из колоды может быть вынута дама крестей, в этом случае произойдет и событие – крестовая карта, и событие – дама. Также совместными являются события и .

Определение 5. События и называются противоположными, если событие происходит всякий раз, когда не происходит событие ,и наоборот.

Например, событие –выпал герб при бросании монеты и событие – выпала цифра – противоположное.

Определение 6. События называются равновозможными, если нет основания, считать, что одно из них произойдет скорее, чем другое.

Например, при бросании монеты равновозможными событиями являются выпадение герба или выпадение цифры.

Определение 7. Элементарными событиями назовем все результаты испытания, которые являются попарно несовместными и равновозможными. Те элементарные события, при появлении которых наступает событие , назовем благоприятствующими появлению события .

Определение 8. Вероятностью события (обозначается ) называется отношение числа благоприятствующих событию исходов к общему числу элементарных исходов опыта (классическое определение вероятности).

Итак, вероятность события определяется формулой:

где – число элементарных событий, благоприятствующих событию , – число всех элементарных исходов испытания.

Замечание. Вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного равна 0. Вероятность случайного события заключена между 0 и 1. Итак, для любого события верно неравенство: .

Пример. В урне 10 красных и 7 зеленых шаров, достаем 1 шар. Рассмотрим события: – из урны вынут красный шар, – из урны вынут зеленый шар. Найдём вероятности этих событий.

Решение. Всего в урне 17 шаров, тогда . Благоприятствующими исходами для события будет извлечение любого из 10 красных шаров, то есть , таким образом ; аналогично, .