2020-04-20
400
Определение 1. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью (надежностью) 
покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой с надежностью 
математического ожидания 
нормально распределенного признака 
по выборочной средней 
при известном среднем квадратическом отклонении 
генеральной совокупности служит доверительный интервал
,
где 
– точность оценки,
– объем выборки,
– значение аргумента функции Лапласа 
(см. приложение 2), при котором 
.
При неизвестном 
(и объеме выборки 
) доверительным будет интервал
,
где 
– «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, 
находят по таблице приложения 3 по заданным значениям 
и 
.
Интервальной оценкой с надежностью среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака 
по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:
при 
,
при 
,
где 
находят по таблице приложения 4 по заданным 
и .
Интервальной оценкой с надежностью неизвестной вероятности 
биномиального распределения по относительной частоте 
служит доверительный интервал (с приближенными концами 
и 
):
,
где
,
.
где 
– общее число испытаний,
– относительная частота, равная отношению 
(
– число появлений
события);
– значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором ( – заданная надежность).
Замечание. При больших значениях (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала
, 
.
Пример 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема 
:
Варианта 
| 2 | 3 | 5 | 7 | 10 | 13 |
Частота 
| 2 | 4 | 7 | 8 | 3 | 1 |
Требуется оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.
Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам
, 
.
Подставим в эти формулы данные задачи:
,
Таким образом, получим 
, 
.
Найдем искомый доверительный интервал:
.
Значение 
находят по таблице приложения 3 по заданным 
и 
: 
.
Подставляя 
; 
; получим
.
Получили доверительный интервал 
, покрывающий неизвестное математическое ожидание 
с надежностью 
.
Пример 2. По данным выборки объема 
из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение 
нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,99.
Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала
(если 
) или 
(если 
).
Значение 
находят по таблице приложения 4 по заданным 
и 
: 
. Так как 
, то воспользуемся первым соотношением. Подставим и 
. Получим
,
отсюда
.
Таким образом, полученный доверительный интервал покрывает неизвестное среднее квадратическое отклонение 
с надежностью (доверительной вероятностью) 
.
Часто используют также следующие выборочные характеристики.
– ошибка средней (среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней);
– коэффициент вариации (доля среднего квадратического отклонения в выборочной средней, в процентах).
