Определение 1. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью (надежностью) покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал
,
где – точность оценки,
– объем выборки,
– значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2), при котором .
При неизвестном (и объеме выборки ) доверительным будет интервал
,
где – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3 по заданным значениям и .
Интервальной оценкой с надежностью среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:
|
|
при ,
при ,
где находят по таблице приложения 4 по заданным и .
Интервальной оценкой с надежностью неизвестной вероятности биномиального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами и ):
,
где
,
.
где – общее число испытаний,
– относительная частота, равная отношению ( – число появлений
события);
– значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором ( – заданная надежность).
Замечание. При больших значениях (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала
, .
Пример 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :
Варианта | 2 | 3 | 5 | 7 | 10 | 13 |
Частота | 2 | 4 | 7 | 8 | 3 | 1 |
Требуется оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.
Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам
, .
Подставим в эти формулы данные задачи:
,
Таким образом, получим , .
Найдем искомый доверительный интервал:
.
Значение находят по таблице приложения 3 по заданным и : .
Подставляя ; ; получим
.
Получили доверительный интервал , покрывающий неизвестное математическое ожидание с надежностью .
Пример 2. По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,99.
|
|
Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала
(если ) или (если ).
Значение находят по таблице приложения 4 по заданным и : . Так как , то воспользуемся первым соотношением. Подставим и . Получим
,
отсюда
.
Таким образом, полученный доверительный интервал покрывает неизвестное среднее квадратическое отклонение с надежностью (доверительной вероятностью) .
Часто используют также следующие выборочные характеристики.
– ошибка средней (среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней);
– коэффициент вариации (доля среднего квадратического отклонения в выборочной средней, в процентах).