Исправленная выборочная дисперсия

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком  извлечена выборка объема :

 

Значения признака				…
Частоты				…

 

При этом .

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки   принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение . Объясняется это тем, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой , а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить  на дробь . Сделав это, мы получим исправленную выборочную дисперсию, которую обычно обозначают , которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии:

.

Если все значения  признака выборки объема  различны, то исправленная выборочная дисперсия находится по формуле:

.

Если же все значения  признака  имеют соответственно частоты , причем объем выборки , то

.

Более удобна форма:

.

В условных вариантах  она имеет вид:

.

Пример 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом .

	1	3	6	26
	8	40	10	2

 

Требуется найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:

,

где  ─ варианта выборки,  ─ частота варианты ;  объем выборки.

.

Ответ: .

Пример 2.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения

	1	2	3	4
	20	15	10	5

 

Требуется найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю

.

Найдем выборочную дисперсию:

,

Ответ: .