2020-04-20
1657
Задача 1. В течение 300 дней фиксировалась цена акции ООО «Мир окон». Затем была проведена случайная выборка объёмом n=20, и получены следующие результаты: 35,9; 35,3; 42,7; 45,3; 25,6; 35,3; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,8; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.
Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: 
, 
, s, 
, 
; с надежностью 
указать доверительный интервал для оценки генеральной средней.
Решение. Запишем исходные данные в виде ранжированного ряда, то есть, располагая их в порядке возрастания: 25,6; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7: 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,8; 42,7; 44,1; 45,3.
Максимальное значение признака составляет 45,3 ц, а минимальное –
25,6 ц. Разница между ними составляет 19,7 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество частей. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 4–7 интервалов. Возьмем длину интервала 
. Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал 25 – 30 попадают два значения: 25,6 и 27,0; поэтому 
. Во второй интервал попадают пять значений, поэтому 
. Аналогично, 
, 
, 
.
|
|
|
Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:
; 
; 
;
; 
.
Для проверки вычисляем сумму относительных частот:
.
Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.
Вычислим плотности 
относительных частот вариант. Получаем
;
;
;
;
.
Полученные результаты сведем в таблицу 5.
Таблица 5.
| Интервал значений | 25–30 | 30–35 | 35–40 | 40–45 | 45–50 |
| Частоты вариант | 2 | 5 | 9 | 3 | 1 |
| Относительные частоты | 0,10 | 0,25 | 0,45 | 0,15 | 0,05 |
| Плотность относительных частот | 0,02 | 0,05 | 0,09 | 0,03 | 0,01 |
Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотности относительных частот.
Рис.12. Гистограмма относительных частот.
Так как объем выборки небольшой (
) и почти все наблюдаемые значения различны, то для вычисления выборочных характеристик составим вспомогательную таблицу (таблица 6).
Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: 
– выборочная средняя; 
– «исправленная» дисперсия; 
– «исправленное» среднее квадратическое отклонение; 
– ошибка средней; 
– коэффициент вариации.
Таблица 6
| № | Результат обследования 
| 
| 
|
| 1 | 35,9 | – 0,1 | 0,01 |
| 2 | 35,3 | – 0,7 | 0,49 |
| 3 | 42,7 | 6,7 | 44,89 |
| 4 | 45,3 | 9,3 | 86,49 |
| 5 | 25,6 | –10,4 | 108,16 |
| 6 | 35,3 | – 0,7 | 0,49 |
| 7 | 33,4 | – 2,6 | 6,76 |
| 8 | 27,0 | – 9,0 | 81,00 |
| 9 | 35,9 | – 0,1 | 0,01 |
| 10 | 38,8 | 2,8 | 7,84 |
| 11 | 33,7 | – 2,3 | 5,29 |
| 12 | 38,6 | 2,6 | 6,76 |
| 13 | 40,8 | 4,8 | 23,04 |
| 14 | 35,5 | – 0,5 | 0,25 |
| 15 | 44,1 | 8,1 | 65,61 |
| 16 | 37,4 | 1,4 | 1,96 |
| 17 | 34,2 | – 1,8 | 3,24 |
| 18 | 30,8 | – 5,2 | 27,04 |
| 19 | 38,4 | 2,4 | 5,76 |
| 20 | 31,3 | – 4,7 | 22,09 |
| Σ | 720,0 | 0 | 497,20 |
|
|
|
Подставляя полученные значения в формулы, получаем
;
;
;
;
.
Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:
.
Вычисляем теперь точность оценки 
:
;
где значение 
находим по таблице приложения 3.
Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что средняя цена акции за 300 дней заключена в пределах от 
ц. (гарантированный минимум) до 
ц. (возможный максимум).
Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в колхозе на площади 
га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:
| Урожайность, ц/га | 23–25 | 25–27 | 27–29 | 29–31 | 31–33 | 33–35 | 35–37 |
| Площадь, га | 3 | 10 | 6 | 16 | 15 | 30 | 20 |
Требуется найти:
1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве;
2) величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве;
3) доверительный интервал, в котором с вероятностью 
заключена средняя урожайность на всем массиве.
Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значения признака нужно принять середины интервалов. Получим:
= (24∙3+26∙10+28∙6+30 ∙16+32 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 =
= 3200/100 = 32.
Для оценки дисперсии генеральной совокупности вычисляем исправленное среднее квадратическое отклонение:
Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве
= 
= 3,4.
Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле
ц.
Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.
Для вычисления доверительного интервала воспользуемся двойным неравенством:
.
Так как 
, то значение 
найдем из условия 
. По таблице приложения 2 находим значение 
и 
, следовательно, получаем:
.
Концы доверительного интервала:
и 
.
Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.
