2020-04-07
90
1. Рассмотрим решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, дающим наиболее высокую точность. Алгоритм решения дифференциального уравнения представляет собой итерационный вычислительный процесс, т.е. значения, полученные на одном шаге, являются начальными для следующего.
Формулы численного метода Рунге-Кутта:
.
2. Применим метод Рунге-Кутта для решения дифференциального уравнения 
при начальных условиях 
на интервале 
c шагом 0,1.
3. Значение шага h занесите в ячейку A5. Используя в формулах значение шага, делайте абсолютную ссылку на эту ячейку. Это важно для получения верного решения.Шапку таблицы заполните следующим образом (рис. 11). Верхний ряд этих таблиц – названия столбцов, левый столбец – номера строк рабочего листа.
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| 1 | Решение дифференциального уравнения | |||||||
| 2 | ||||||||
| 3 | k 1 | k 2 | k 3 | |||||
| 4 | h | xk | yk | xk+h | xk+h/2 | h*F(xk,.. | h*F(xk+… | h*F(xk… |
| 5 | 0,1 | 1 | 0 | |||||
= 
при начальных условиях x0 =1, y (x 0) =0на интервале [1;3] c шагом h = 0,1.Рис.11. Шапка таблицы
|
|
|
4. Четвертую строку шапки таблицы оформите, как показано на pис. 12.
| F | G | H | I | |
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 3 | k 1 | k 2 | k 3 | k 4 |
| 4 | 
| 
| 
| 
|
Рис.12. Шапка таблицы (окончание)
5. В ячейку B6 введите формулу для вычисления 
: =B5+$A$5. Затем с помощью маркера автозаполнения заполните столбец B значений .
6. В ячейку D5 введите формулу для вычисления 
:
=B5+$A$5.
7. В ячейку E5 введите формулу расчета 
):
=B5+$A$5/2.
8. В ячейку C6 поместите формулу для вычисления следующего значения решения дифференциального уравнения(см. формулы 8.1):
=C5+(F5+2*G5+2*H5+I5)/6.
С помощью маркера автозаполнениязаполните столбец значений 
.
9. Далее в ячейки F5–I5 поместите формулы для расчета 
(см. формулы 8.1):
ячейкаF5: = $F$5*(B5+C5/B5);
ячейка G5: = $F$5*(E5+(C5+F5/2)/E5);
ячейка H5: =$F$5*(E5+(C5+G5/2)/E5);
ячейка I5: = $F$5*(D5+(C5+H5)/D5).
10. Решающий этап – заполнение таблицы. Предварительно выделите ячейки D5 и E5 и скопируйте эти формулы на соседнюю строчку с помощью маркера автозаполнения. Затем выделите ячейки с F5 по I5 и проделайте то же самое.
11. Теперь можно быстро заполнить всю таблицу. Для этого выделите ячейки с D5 по I5, поместите указатель мыши на маркер автозаполнения и протащите мышь, удерживая ее левую кнопку до строки, в которой кончается ряд значений 
. При этом произойдет копирование всех формул и автоматический расчет по ним. Столбцы 
и 
(колонкиВ и С) дают решение дифференциального уравнения (таблицу значений искомой функции).
12. Для построения графика следует выделить смежные диапазоны значений 
и 
, расположенные в столбцах B и C (рис.13).
|
|
|
Рис. 13. Результаты решения задачи
