Методические указания к выполнению работы

1. Рассмотрим решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, дающим наиболее высокую точность (из трех названных). Алгоритм решения дифференциального уравнения представляет собой итерационный вычислительный процесс, т.е. значения, полученные на одном шаге, являются начальными для следующего.Для получения решения дифференциального уравнения второго порядка преобразуем его в систему двух уравнений первого порядка путем замены первой производной.

2. Введем следующую замену и обозначение тогда система двух уравнений первого порядка перепишется следующим образом:

.

Формулы численного метода Рунге-Кутта:

;

 ;

3. Рассмотрим применение метода на конкретном уравнении

 при  а точное решение это функция  Для использования метода Рунге-Кутта преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему двух уравнений первого порядка путем замены тогда получим:

4. Решение будем искать на интервале с шагом 0,1.

5. Заполнение шапки таблицы (рис. 14a,14b,14c).

5.1. Значение шага введите в ячейку B3. Используя в формулах значение шага, делайте абсолютную ссылку на эту ячейку. Это важно для получения верного решения.

5.2. Введите начальные значения аргумента функции, функции и её производной:

в ячейку А5 значение 0;

в ячейку В5 значение 1;

в ячейку С5 значение –1.

6. Формирование значений аргументов функции.

6.1. Для решения задачи, согласно формулам Рунге-Кутта, требуется значение текущего аргумента в текущей точке – это столбец A, в столбце D значение , и в столбце E –значение

6.2. Для вычисления в ячейку A6 введите формулу

=A5+$B$3 и скопируйте ее в диапазон A7:A25.

6.3. Соответственно, для вычисления в ячейку D5 введите формулу=A5+$B$3 и скопируйте ее в D6:D25.

6.4. Для вычисления в ячейку E5 введите формулу =A5+$B$3/2 и размножьте ее в E6:E25.

7. Для формирования значений коэффициентов k 1– k 4 (формулы Рунге-Кутта), определяющих следующее значение функции согласно выше приведенным выкладкам, введите следующие формулы:

в ячейку F5: =$B$3*С5;

в ячейку G5: =$B$3*(С5+J5/2);

в ячейку H5: =$B$3*(С5+K5/2);

в ячейку  I5: =$B$3*(С5+L5).

8. В ячейку B6 введите формулу, определяющую следующее значение функции:

=B5+(F5+2*G5+2*H5+I5)/6.

 

	A	B	C	D	E
1	Решение уравнения при
2		h
3		0,1
4	xk	yk	zk	xk+h	xk+h/ 2
5	0	1	-1	0,1	0,05
6	0,1

 

Рис. 14a. Шапка таблицы для расчетов

	F		G			H	I
1
2
3	k 1		k 2			k 3	k 4
4
Рис. 14b. Шапка таблицы для расчетов (продолжение)
		J		K	L		M
1
2
3		р 1		p 2	p 3		p 4
4

Рис. 14c. Шапка таблицы для расчетов(окончание)

 

9. Для расчёта коэффициентов p 1– p 4, определяющих следующее значение производной функции, введите следующие формулы:

в ячейку K5:  =$B$3*(–3*С5–2*B5);

в ячейку L5:   =$B$3*(–3*(C5+K5/2)–2*(B5+F5/2));

в ячейку M5:  =$B$3*(–3*(C5+L5/2)–2*(B5+G5/2));

в ячейку N5:  =$B$3*(–3*(C5+M5)–2*(B5+H5)).

10. Для определения следующего значения производной функции в ячейку C6 введите формулу

 =C5+(J5+2*K5+2*L5+M5)/6.

11. Теперь заполните всю таблицу. Для этого выделите ячейки с F5 по M5, поместите указатель мыши на маркер автозаполнения и протащите мышь, удерживая ее левую кнопку до строки, в которой кончается ряд значений . Столбцы  дают решение дифференциального уравнения – таблицу значений искомой функции (рис.15).

 

 

Рис. 15. Таблица решения дифференциального уравнения

 

Рис. 16. Таблица решения дифференциального уравнения (окончание)

 

12. Для построения графика следует выделить смежные диапазоны значений точных значений функции, расположенные в столбцах соответственно A, В и C. Затем строим точечную диаграмму (pис.15).