Краткие теоретические сведения и образцы решений задач

Задания 1 - 4 относятся к разделу «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Следует разобрать основные определения теории и методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

Решение. Общий вид уравнения с разделяющимися переменными следующий:

либо в терминах дифференциалов

Характерно, каждое из слагаемых – произведение функций, зависящих только от одной переменной. Делением обеих частей уравнения его приводим к виду с разделенными переменными. Например, в левой части преобразованного уравнения отсутствует переменная , а в правой – переменная :

Интегрируя затем левую и правую часть, получим общее решение в неявном виде (общий интеграл). Итак,

Окончательно, общий интеграл имеет вид:

, где

С – произвольная постоянная.

Пример 2. Решить однородное уравнение: .

Обыкновенное дифференциальное уравнение называется однородным если при замене , а оно не меняется.

Другими словами, если уравнение можно привести к виду

где f – любая функция, то оно является однородным.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными типа с помощью подстановки .

Покажем, что это уравнение однородное. Для этого поделим его обе части на .

Или, поделив почленно правую часть на x:

Слева стоит производная y, а справа функция, зависящая только от . Уравнение является однородным. Применим подстановку

Получим:

Сократим на u и поделим на x:

Возвращаясь к исходной неизвестной функции

Кроме этого, есть еще решение , которое было потеряно при делении на x.

В 3-ем задании рассматривается линейное ДУ первого порядка.

Если обыкновенное дифференциальное уравнение можно привести к виду

где p(x) и q(x) функции, не зависящие от y, а только от переменной x, то такое уравнение называется линейным (относительно y).

Линейные ОДУ первого порядка можно решать с помощью подстановки Бернулли

где U(x) и V(x) две новые неизвестные функции, одна из их лишняя. Её можно выбирать по своему усмотрению. Найдем теперь производную по правилу дифференцирования произведения:

Подставив выражения для y и y' в уравнение, получим:

Распорядимся произволом так, чтобы исходное уравнение «расщепилось» на два простых:

Теперь видно, что если положить , то оставшееся уравнение приобретет простой вид. Таким образом, исходное уравнение распадается на два уравнения, каждое из которых является уравнением с разделяющимися переменными:

Теперь, найдя из первого уравнения какую-либо функцию V(x), подставим ее во второе и найдем общее решение второго уравнения - функции U(x). А так как решение y(x)=UV, то, значит, мы нашли и его.

Пример 3. Найти общее решение линейного ДУ: .