Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

Здесь — известная функция, непрерывная на некотором промежутке.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ общее решение ДУ есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения, т. е.

Рассмотрим, в каком виде можно искать частное решение неоднородного уравнения, если правая часть уравнения имеет специальный вид.

Пусть и корни характеристического уравнения, а правая часть уравнения имеет вид:

где — многочлены от х степеней n и m соответственно с известными коэффициентами.

Тогда частное решение следует искать в виде:

где k — кратность корня характеристического уравнения:

При этом многочлены от х степени с
некоторыми, пока неизвестными, коэффициентами. Неизвестные коэффициенты многочленов и находят методом неопределенных коэффициентов.

Пример 4.2. Найти общее решение линейных неоднородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

а) б)

Рассмотрим уравнение а)

Решение.

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Поскольку и то общее решение запишем в виде, учитывая, что

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения

Сравнивая ее с видом заключаем, что Определим параметры частного решения. Учитывая, что а получим, что не является корнем характеристического уравнения, поскольку корни Следовательно, k = 0. Найдем Следовательно, порядок многочленов R и S равен 0, т. е. R ₀ = A, а S ₀ = B, где А и В — некоторые неизвестные пока коэффициенты. Подставив полученные параметры в имеем:

Коэффициенты А и В определим из условия, что функция у _чн — решение уравнения и поэтому должна ему удовлетворять. Найдем и

и подставим в исходное уравнение:

Приравняем коэффициенты при и в правой и левой частях полученного равенства:

Итак,

Тогда общее решение неоднородного ДУ имеет вид:

Рассмотрим уравнение б)

Решение.

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Его корни:

Поскольку и то общее решение запишем в виде:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения

Сравнивая ее с видом заключаем

Определим параметры частного решения. Учитывая, что а получим, что однократный корень характеристического уравнения, поскольку корни

Следовательно, k = 1. Найдем

Поэтому, порядок многочленов R и S равен 1, т. е. а где А, В, С, D — неизвестные коэффициенты. Подставляя полученные параметры в имеем:

Для определения коэффициентов А и В найдем и

и подставим в исходное уравнение:

Разделим обе части уравнения на и приведем подобные члены:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях уравнения:

Итак,

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид:

Задания 5 и 6 посвящены исследованию рядов.

Определение. Числовой ряд (бесконечная сумма) – это пара последовательностей чисел и , таких, что .

Числовой ряд обозначают символом

Здесь (n=1, 2, …) – n-ый член ряда, а сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ,

то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся. Если конечный предел частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю: . Ряд может сходиться лишь в том случае, когда его общий член при n®¥ является бесконечно малой величиной.

Если необходимое условие сходимости ряда не выполнено: , либо предел не существует, то ряд расходится (достаточный признак расходимости рядов).

Пример.Найти общий член ряда

Доказать, что этот ряд расходится.

Решение. Последовательно рассмотрим члены ряда:

Подмечая закономерность, можно видеть, что общий член ряда выражается формулой

Представим общий член ряда в виде

Ясно, что при n³4 | | > 3/25, поскольку все сомножители - дроби, кроме первых трех, больше 1.

Отсюда следует , необходимое условие сходимости не выполнено, ряд расходится.

В задании 5 рассматриваются положительные ряды.

Для исследования сходимости положительных рядов (т.е. рядов с неотрицательными членами: ³0) применяют достаточные признаки сходимости рядов. Среди них наиболее часто используют признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши (Табл. 1).

Пример 5.а. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Применим первый признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем обобщенный гармонический ряд

Показатель степени гармонического ряда p =4/5<1, поэтому «эталонный» ряд расходящийся. Члены исходного ряда для всех n³3 превосходят соответствующие члены «эталонного» ряда:

Применяя первый признак сравнения, получаем, поскольку расходится «меньший» эталонный ряд, то расходится и «больший» исходный ряд.

Пример 5.б. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Преобразуем общий член исходного ряда

Исходный ряд сравним с “эталонным” рядом

Это “геометрический ряд, он сходится, т.к. знаменатель прогрессии q =2/3<1. Поскольку

- конечное число, отличное от 0, то в силу второго признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится.

Пример 5.в. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Применим признак Даламбера. Записываем n- ый член ряда:

(n +1 )- ый член получим, если в выражении везде n заменим на (n+ 1 ):

Найдем предел отношения:

Пример 5.г. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Здесь удобно применить радикальный признак Коши:

Следовательно, ряд сходится. Подчеркнем, здесь использовали известный «второй замечательный» предел.

Пример 5. д. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Рассмотрим функцию

Она при x³2 положительная, непрерывная и монотонно убывает. (Заметим, что эта функция получается из выражения общего члена ряда при замене n на x). Можно применять интегральный признак. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

Из интегрального признака заключаем, поскольку несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов (знакопеременный ряд) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, тогда знакопеременный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Рассмотрим далее числовые ряды, любые два соседние члены которых имеют противоположные знаки (знакочередующиеся ряды):

Исследование сходимости знакочередующихся рядов можно начинать с проверки абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то и сам знакопеременный ряд сходится. Если же окажется, что данный знакочередующийся ряд не обладает абсолютной сходимостью, то исследование продолжают с помощью признака Лейбница:

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при n ®¥, то ряд сходится. Его сумма имеет знак первого члена, абсолютное значение этой суммы не превышает абсолютное значение первого из членов ряда:

Важное для практики значение имеет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда абсолютная ошибка приближенного равенства (абсолютная величина остатка ряда) не превосходит модуль первого из отброшенных членов:

Пример 5.ж. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Данный ряд знакочередующийся, т.к.

Исходный ряд можно переписать в виде

Рассмотрим сначала ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда:

Сравним его с гармоническим рядом 1+1/2+1/3+…+1/ n +…, о котором известно, что он расходится. Так как

то по второму признаку сравнения заключаем, что ряд из модулей расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно не сходится. Продолжим исследование с помощью признака Лейбница: члены исходного ряда удовлетворяют условиям: во-первых, монотонного убывания абсолютных величин членов ряда, во-вторых, общий член ряда стремится к нулю. В самом деле, в промежутке [0, p/2] функция y = tg x монотонно возрастает, а при n = 1, 2, … выполняются неравенства, а также необходимое условие:

Окончательно заключаем, исходный ряд сходится условно.

В задании 6 рассматривается степенной ряд.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

где множители при степенях (x – x₀) – коэффициенты ряда, число x₀ – центр интервала сходимости. При частном значении переменной x степенной ряд становится числовым. Сходимость степенного ряда зависит от величины x. Из теоремы Абеля для степенных рядов следует, что область сходимости всякого степенного ряда – некоторый интервал (x₀–R, x₀+R), называемый интервалом сходимости. Во всех точках этого интервала степенной ряд сходится и притом абсолютно, вне интервала – ряд расходится. На границе интервала различные степенные ряды ведут себя по-разному. Число R – половина длины интервала сходимости – радиус сходимости. Если степенной ряд сходится лишь в одной точке, то радиус R = 0. Если ряд сходится при любом x, то R = ¥. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

если соответствующие пределы существуют – конечные или бесконечные. При этом R = 0, если L = 0 и R = ¥, если L = 0.

Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда

Решение.

В развернутом виде ряд выглядит следующим образом

Коэффициенты ряда:

Найдем радиус сходимости

Заключаем, что интервал сходимости (-1/3, 1/3).

Исследуем далее сходимость степенного ряда в граничных точках интервала:

а) при x= 1/3 получим числовой положительный ряд:

Этот ряд расходится, что видно из сравнения его с гармоническим рядом.

б) при x = -1/3 получим знакочередующийся ряд:

Члены этого ряда удовлетворяют условиям теоремы Лейбница:

Знакочередующийся ряд сходится, т.е. при X = -1/3 степенной ряд сходится и окончательно область сходимости степенного ряда определяется неравенствами –1/3 £ X < 1/3.

Таблица 1. Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Название признака	Формулировка признака		Примечание
1. Первый признак сравнения	Пусть сравниваются два положительных ряда и . Если для всех n, начиная с некоторого N, выполняются неравенства , то из сходимости «большего» ряда следует сходимость «меньшего» ряда ; если расходится «меньший» ряд ,, то расходится также «больший» ряд .		При сравнении могут полезными оказаться известные неравенства: sin a < a < tg a, если 0 < a < p/2; ln n < n, если n ³ 2
2.Второй признак сравнения	Если существует конечный отличный от нуля предел то ряды и одновременно сходятся, либо расходятся.		В качестве эталонного ряда часто используют обобщенный гармонический ряд S(1 /n^p) который сходится при p> 1, а расходится при p< 1, а также “геометрический” ряд S qⁿ, который сходится при ½ q ½<1.
3. Признак Даламбера		Если для положительного ряда существует конечный предел тогда при D <1 ряд сходится, а при D >1 - расходится.	В случае D = 1 признак «не работает»; нужен другой, более сильный признак.
4. Радикальный признак Коши		Если для положительного ряда существует конечный предел то при K <1 ряд сходится, а при K >1 – расходится.	Если K = 1, нужен другой признак
5. Интегральный признак Коши		Пусть при х ³1 f(x) - непрерывная монотонно убывающая положительная функция, а члены ряда являются значениями этой функции натурального аргумента: . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл Если интеграл расходится, то и ряд расходится.	Интегральный признак удобно применять к исследованию положительных рядов, для которых признаки Даламбера или радикальный не приводят к цели, а несобственный интеграл легко исследовать на сходимость