Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные (ЛОДУ).

Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

                                          

где р ₁ и р ₂ — действительные числа.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного ДУ достаточно найти два линейно независимых частных решения  и  уравнения, чтобы записать общее решение:

где y₀₀ – общее решение однородного уравнения.

Будем искать решение уравнения в виде  где  некоторая постоянная. Чтобы определить  подставим  в уравнение.
В результате подстановки получим уравнение

Так как  то

                                   

Квадратное уравнение называют характеристическим уравнением для ДУ, а его корни  и   характеристическими числами. При решении характеристического уравнения могут возникнуть три случая:

а) Корни  и  действительные и различные. Тогда общее решение уравнения будет иметь вид:

                                       

б) Корни  и  действительные и равные,  Общее решение уравнения будет иметь вид:

                                       

в) Корни  и комплексно сопряженные,  Тогда общее решение уравнения примет вид:

                  

Пример 4.1 Найти общие решения линейных однородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

а)      б)

в)      г)

Решение.

а)  Составим характеристическое уравнение:

Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

                              

Получим корни:

Поскольку  и  то общее решение запишем в виде

б)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения:

Поскольку  то общее решение запишем в виде

в)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения:

Получим комплексно сопряженные корни  где а =1, b =4.

Решение запишем в виде

г)

Характеристическое уравнение:

Решим его:

 — комплексно сопряженные корни вида  где а = 0, b = 1,3. Решение запишем в виде, при этом учтем, что