Применение второго метода Ляпунова для линейных систем

 

Второй метод Ляпунова дает необходимые и достаточные условия устойчивости линейных динамических систем. Рассмотрим систему следующего вида:

где - матричное уравнение Ляпунова. Линейная система устойчива, если для положительно определенной квадратичной формы ее полная производная в силу уравнений системы будет отрицательно определенной квадратичной формой.

Для оценки знака квадратичной формы применяется критерий Сильвестра:                                    

матрица В является положительной, а соответствующая квадратичная форма положительно определенная, если все ее диагональные миноры будут положительны. ; В - отрицательная матрица, если все нечетные миноры будут отрицательны, а четные положительны, .

Последовательность проверки устойчивости линейных систем

1) Выбирается вид исследуемой функция, например,

                              

2) Формируется матрица квадратичной формы в виде:

3) Записывается матричное уравнение Ляпунова:

.

4) Выполняется решение матричного уравнения, либо по известным А и В определяется С, либо определяется В по заданным А и С

5) Оценивается знак квадратичной формы и делается вывод об устойчивости системы.

Пример

Исходные данные:

             .

Решение:

1) , пусть ,

2) ,

 

3)

из полученной системы находим значения элементов квадратичной формы В и оцениваем ее знак.