Часть 5. Адаптивные системы, метод скоростного градиента. Общий подход к построению системы

 

Суть метода скоростного градиента заключается в следующем: настройка параметров осуществляется в направлении, противоположном скорости изменения целевого функционала вдоль траектории обобщенного настраиваемого объекта (ОНО). Алгоритмом скоростного градиента называется правило изменения вектора настраиваемых коэффициентов (q), задаваемое уравнением вида

                                     (5.1)

где Ñ - дифференциальный оператор, Г = Г ^Т > 0 – квадратная матрица коэффициентов передачи,

здесь Q(.) – целевой функционал, f (x,q,t) – вектор- функция, описывающая ОНО,

y (.) – некоторая вектор-функция, удовлетворяющая условию псевдоградиентности

АСГ вида (5.1) называют алгоритмом в конечно-дифференциальной форме. Частным случаем (5.1) являются алгоритмы в дифференциальной форме (в случае y = 0)

                                 (5.2)

и в конечной форме (для Г = 0)

,

где g - шаг дискретизации.

Рассмотрим пример синтеза системы с параметрической адаптацией. Объект управления задан моделью в пространстве состояний

                                  (5.3)

где x Î Rⁿ, u Î R^m – векторы состояния и входа ОУ, А, B – неизвестные матрицы коэффициентов.

Эталонная модель выбрана в форме

                                (5.4)

где r Î R^m – задающее воздействие, А_м – гурвицева матрица.

Цель управления сформирована относительно координатного рассогласования

                                         (5.5)

где e (t) = x (t) – x_м (t). Предлагаем выполнение условия управляемости объекта и наблюдаемости координат состояния.

Пусть целевой функционал выбран в форме скалярной квадратичной функции

                                            (5.6)

Поставленная цель управления выполняется, если Q®0 при t®¥.

Уравнение основного контура можно получить модальным методом, т.е. разрешив уравнение

относительно u (t):

или                                    (5.7)

«Идеальное» управление можно записать в форме

                                                                    (5.8)

где матрицы k_*^x, k_*^r удовлетворяют условию

.                              (5.9)

Матрицы идеальных значений коэффициентов регулятора k_*^x, k_*^r существуют, если выполняются ранговые условия

    Реальный закон управления имеет вид

                               (5.10)

где k^x (t), k^r (t) – матрицы настраиваемых коэффициентов регулятора,

    Для определения вида алгоритма адаптации требуется вычислить производную целевого функционала (5.6) в силу уравнений системы (5.3), (5.4), (5.10):

                (5.11)

После подстановки (5.10) в (5.11) имеем

(5.12)

Определим скоростные градиенты

,

.

 Для алгоритмов настройки коэффициентов выбираем АСГ в дифференциальной форме (5.2)

               (5.13)

где Г = g I, g > 0.

  Система (5.3), (5.4), (5.10), (5.13) относится к системам с параметрической адаптацией. На основе АСГ можно синтезировать системы с сигнальной и сигнально- параметрической адаптацией. Системы с алгоритмом адаптации (5.13) сохраняют работоспособность при изменении координатных и параметрических возмущений в широких пределах. Качество процессов ухудшается, если скорость изменения параметрических возмущений высокая.

    С целью повышения быстродействия в контурах параметрической настройки коэффициентов регулятора можно применять пропорционально-интегральные алгоритмы адаптации в дифференциальной форме