Часть 4. Адаптивные системы, градиентный метод. Общий подход к построению системы

Градиентный алгоритм относится к базовым алгоритмам адаптации. Вектор градиента всегда направлен в сторону максимального локального роста функции. Следовательно, если вектор скорости настраиваемых параметров () направить в сторону антиградиента , то реализуется последовательный спуск в локальный минимум

(4.1)

Проведем синтез адаптивной системы для одноканального линейного объекта управления

(4.2)

где u, y – управляющая и выходная переменные соответственно. Параметры объекта a_i, b_j точно не определены, но заданы (n + m + 1) – мерной областью возможных значений W_ab. Операторная запись уравнения (4.2) имеет вид

(4.3)

где a_n (p) = pⁿ + a_n-1 p^n-1 + …+ a₀, b_m (p) = b_m p^m + b_m-1 p^m-1 + … + b₀, pⁱ = dⁱ / d tⁱ – оператор i - кратного дифференцирования.

Цель управления зададим предельным соотношением

(4.4)

где y_м(t) – эталонная траектория движения, которая удовлетворяет уравнению эталонной модели

(4.5)

здесь r – эталонное входное воздействие на систему. Оператор является устойчивым, т.е. корни уравнения имеют отрицательную действительную часть.

Для определения структуры «идеального» закона управления выполним преобразования уравнений (4.2) и (4.5). Вычтем из обеих частей уравнения (4.3) выражение (a_n (p) y):

0 = b_m (p) u – a_n (p) y. (4.6)

Полагая y = y_м, запишем уравнение (4.5)

. (4.7)

Прибавим к обеим частям уравнения (6) выражение ():

(4.8)

где Далее вычтем из (4.8) уравнение (4.5):

(4.9)

где e = y – y_м. Пусть “идеальный” закон управления имеет вид

(4.10)

тогда

(4.11)

Так как полином является устойчивым по условию, то e ® 0 при t ® ¥, т.е. закон управления (4.10) позволяет обеспечить выполнение цели управления (4.4). Учитывая неизвестность b_m (p) и D _n_-1(p), реальный закон управления запишем в виде

(4.12)

с операторами

Если в процессе настройки коэффициентов будет выполнено при t® ¥, то e ® 0, что показывает достижение поставленной цели управления.

Для определения целевой функции введем новое рассогласование (s), которое возникает в результате замены y_м на y в уравнении эталонной модели (4.5),

(4.13)

Если вычесть из (4.13) уравнение (4.5), то получим уравнение, описывающее связь между рассогласованиями e и s:

(4.14)

Из (4.14) следует, что если s ® 0 при t® ¥, то в силу устойчивости имеем e ® 0 при t ® ¥. Следовательно, будет выполнена поставленная цель. Это позволяет задать целевую функцию в виде