Часть 3. Основные положения принципа максимума понтрягина

Проблема оптимального по времени управления начала интенсивно изучаться математиками в 50-е годы 20 столетия. В 1953-1957 гг. Р Беллман, Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Н.Н. Красовский, Ж. Ла-Саль развили основы теории задачи о минимальном времени перехода. Принцип максимума был впервые провозглашен на международном конгрессе математиков, который проходил в Эдинбурге в 1958 г.

Теоремы принципа максимума справедливы для динамических систем, модель которых можно записать в пространстве состояний:

где - вектор координат состояния, - вектор управляющих воздействий, причем , U – множество допустимых значений u. Задача состоит в определении закона изменения управляющего воздействия, которое переведет систему из начального состояния в некоторое конечное за время Т, обеспечив экстремальное значение функционалу

Введем дополнительную переменную

т.е. расширим вектор состояния. Дифференциальное уравнение для новой переменной имеет вид:

Тогда расширенная система дифференциальных уравнений запишется в виде:

В принципе максимума особую роль играют вспомогательные переменные , и функция

Последнее выражение определяет элементы вектора , для которых справедливо следующее выражение

или .

Нетрудно видеть, что

так как . Запишем полученную систему соотношений

данные уравнения являются канонически сопряженными.

Основная теорема принципа максимума:

Для оптимальности управления u(t) и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной функции , соответствующей функциям u(t) и в силу уравнений исходной системы, что при любом , функция переменного достигает в точке максимума:

Последовательность решения задачи с помощью принципа максимума:

1. Модель объекта управления записывается в пространстве состояний и вводится новая переменная состояния:

2. Составляется функция Н:

3. Определяется значение u(t), максимизирующее функцию Н:

4. Определяются элементы вектор-функции :

5. Записывается искомое оптимальное управление через .

Особенностью принципа максимума является то, что вариационная задача нахождения функции u(t), обеспечивающая экстремум функционалу , заменена более простой задачей математического анализа – задачей определения u(t) из условия максимума вспомогательной функции .