Расчет поля в однородной среде при заданном распределении источников

В однородном пространстве с диэлектрической проницаемостью в некотором обьеме V  с обьемной плотностью  . Требуется рассчитать электростатическое поле в любой точке пространства М.  

Разобьем обьем   V на элементарные малые обьемы  , каждый из которых будем воспринимать как точечный заряд и воспользуемся принципом наложения для суммирования результатов расчета потенциала в точке М.  

Осуществив предельный переход, получим формулу вычисления потенциала, называемую обьемный потенциал

Расчет поля в однородной среде по уравнениям Пуассона, Лапласа

Если требуется рассчитать поле в некоторой ограниченной поверхностью S части пространства с однородной средой, то необходимо знать распределение потенциала на этой поверхности. Потенциал внутри обьема V  будет удоалетворять уравнению Пуассона (если в обьеме V есть распределеннные заряды) или уравнению Лапласа (если заряды в обьеме V отсутствуют).

В курсе математической физике такие задачи называются краевые задачи.

Краевая задача с уравнением Лапласа называется краевая задача Дирихле.

Если на границе области S задано распределение не потенциала, а а его нормальной производной , то эта задача носит название краевая задача Неймана.

Если область внутри обьема кусочно-однородна (то есть состоит из диэлектрических однородных сред с различными значениями диэлектрических проницаемостей), то в краевой задаче необходимо ввести дополнительные граничные условия, учитывающие поведение векторов поля  на границе раздела этих сред

Представленные выражения означают равенство тангенциальных составляющих вектора напряженности электростатического поля и нормальных составляющих вектора электрического смещения (электрической индукции) на границе сред 1 и 2.

Ниже приведены примеры расчета электростатических полей с использованием вышеизложенной теории

Пример1