Расчет электростатического поля двухпроводной заряженной линии в прямоугольном проводящем туннеле

Рассчитать: потенциал и напряженность электростатического поля в точке М

Решение

Потенциал ищется в виде наложения двух потенциалов

,

потенциала в точке М от заряженной линии при отсутствии проводящего туннеля       ипотенциала в точке М от индуцированных зарядов на поверхности проводящего туннеля.

Так как туннель проводник, то на его поверхности потенциал результирующего поля постоянен и его можно принять равным нулю (Q – точка на поверхности туннеля).

Следовательно

Потенциалы от заряженных осей (без учета индуцированных зарядов)

Потенциал на контуре следа туннеля

Потенциал в точке М

Для потенциала от индуцированных зарядов внутри туннеля будет справедливо уравнение Лапласа при заданном распределении этого потенциала на границе туннеля, то есть задача Дирихле.

Решением уравнения Лапласа являются функции, обладающие такими свойствами:

-значение потенциала в точке  М равно среднему от потенциалов точек окрестности.

-потенциалы точек внутри области не могут быть больше максимального

значения на границе области и меньше наименьшего граничного значения

Эти свойства определяются теоремами теории потенциала (из курса математической физики):

-теоремой о среднем;

-теоремой о максимуме и миниуме.

Теорема о среднем

Теорема о максимуме и миниуме

Свойства потенциала, полученные как решение уравнения Лапласа позволяют получать решение как аналитическими так и численными  методами. Например, аналитически данная задача может быть решена методом разделения переменных. Среди численных методов можно отметить метод конечных элементов и метод сеток. Среди существующих математических пакетов прикладных программ в настоящее время можно выбрать необходимую для решения этой задачи.

Остановимся подробнее на численном методе сеток применительно к решению данной задачи Дирихле.

Для этого прямоугольную область (сечение туннеля) разбивают на ячейки (наносят сетку). В узлах сетки должны быть определены значения потенциалов.

Номера узлов сетки в представленной декартовой системе координат пронумерованы от 1 до 100.

По теореме о среднем (по обозначениям рисунка)

Метод сеток является итерационным методом последовательных приближений

при численном решении задачи Дирихле.

Решение начинается с произвольного задания значения потенциалов в узлах сетки, но эти значения не должны выходить за рамки максимального и минимального значений на границе туннеля в соответствии с теоремой о максимуме и миниуме потенциала. Далее проводится пересчет значений потенциалов в узлах сетки по вышеприведенной формуле. Значения потенциалов в узлах на границе туннеля при этом остаются неизменными.

Процесс пересчета потенциалов в узлах сетки называется итерациями. Из теории известно, что процесс итераций приближается к неизменяющемуся распределению потенциалов в узлах. Это установившееся распределение и является решением задачи Дирихле.

Количество итераций   n  определяется заданной по условию точностью расчета.