Релятивистский импульс

В классической механике, при v << c импульс тела равен:

 

p mv.

 

В релятивистской механике, которая описывает движения тел со скоростя- ми, близкими к скорости света,

p

                   .                              (12.4)

 

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем.

Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в клас-

сической:

d 

p

F,

dt

     

но p               !

 

 

(12.5)

 

 

Релятивистское выражение для энергии имеет следующий вид:

 

W            .                                       (12.6)

 

Энергия покоя

При скорости материальной точки v = 0 из (12.6) получим, что:

 

o

mc 2

– энергия покоя.                  (12.7)

Кинетическая энергия (энергия движения)

Так как кинетическая энергия должна обращаться в ноль при v = 0, то из (12.6) и (12.7) для нее следует:

Wk       W W0

mc ²

v2

mc 2.                    (12.8)

 

Можно показать, используя разложение при v << c следует, что

1 c2

Wк в ряд Маклорена, что из (12.8)

 

Wк                           ,

2

т.е.

Wк совпадает с выражением (5.8) для кинетической энергии в механике

Ньютона.

Формулу (12.8) можно записать в следующем виде:

 

W W0       Wк

mc 2

Wк .                      (12.8а)

 

Как видно из этой формулы, энергия частицы W состоит из ее энергии по-

коя W0

mc 2

и кинетической энергии, поэтому в теории относительности W

называют полной энергией материальной точки. При этом в термин полная энергия вкладывается, по сравнению с классической механикой, другой смысл (там, в соответствии с (6.8) это была сумма кинетической и потенциальной энергии).

 

Релятивистский инвариант

Из (12.6) и (12.4) следует, что

 

 

                           .                                (12.9)

Так как справа от знака равенства в (12.9) стоят величины, не зависящие от выбора системы отсчета, то соотношение (12.9) между энергией и импульсом будет иметь один и тот же вид в любой системе отчета. Иначе говоря, оно инва- риантно относительно выбора системы отсчета, т.е. является релятивистским инвариантом. Подчеркнем, что инвариантной величиной является и масса  тела

m. Иными словами, масса тела m не зависит от его полной релятивистской энергии W. При изменении W в (12.9) меняется также и р – импульс тела, их комбинация (12.9) остается неизменной. При р = 0 мы получаем из (12.9) фор- мулу (12.7):

0

W mc 2.                                      (12.7а)

Таким образом, масса тела m пропорциональна его энергии покоя W₀. Это утверждение носит название закона взаимосвязи массы тела и его энергии покоя.