Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета (см. лекцию 4, § 2). Неинерциальными являются системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно неинерциальных. Например, система отсче- та, связанная с Землей, является неинерциальной из-за вращения нашей плане- ты вокруг собственной оси и поступательного движения по эллипсу вокруг Солнца. Правда, этой неинерциальностью в первом приближении можно пре- небречь, но при более точных расчетах ее необходимо учитывать. Учет этот можно сделать, если проводить расчеты в инерциальной системе отсчета (на- пример, связанной с Солнцем – гелиоцентрической), либо добавить во второй закон Ньютона так называемые силы инерции и рассчитать движение тела в неинерциальной системе отсчета.
Силы инерции не являются силами взаимодействия рассматриваемого те- ла с какими-либо другими телами, а добавляются во второй закон Ньютона для учета ускоренного движения неинерциальной системы отсчета. Поэтому их, в отличие от истинных сил, называют фиктивными силами. Поэтому понятно, что силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона.
|
|
Обозначим через a, как и в предыдущих лекциях, ускорение материальной
|
|
|
|
w a a
откуда .
(13.1)
|
|
|
ma ma
mw.
'
(13.2)
По второму закону Ньютона (4.4), произведение ma
сумме всех истинных сил, действующих на тело, т.е.:
равно F – векторной
тогда из (13.2) получим:
ma F,
'
F ma mw. (13.3)
Выразим из (13.3) произведение массы материальной точки на ее ускоре-
'
ние a в неинерциальной системе отсчета:
Введем величину:
|
'
mw.
(13.4)
(13.5)
и назовем ее суммой сил инерции. Как видно, сумма сил инерции просто равна по величине и противоположна по направлению произведению массы тела на w – разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета.
С учетом (13.5) выражение (13.4) будет иметь вид второго закона Ньютона, записанного в неинерциальной системе отсчета:
|
|
ma F F.
(13.6)
В отличие от второго закона Ньютона (4.4), в правую часть которого вхо- дят только истинные силы (т.е. силы, подчиняющиеся третьему закону Ньюто- на), в правой части выражения (13.6) находятся и фиктивные силы, или силы инерции.
|
|
§ 2. Силы инерции при поступательном движении системы отсчета
Напомним, что поступательным называется такое движение, при котором любая линия, проведенная в теле, остается при его движении параллельной са- мой себе. Применительно к движущейся неинерциальной системе отсчета К это означает, что оси ее системы координат сохраняют при движении свое на- правление относительно осей координат инерциальной системы отсчета К. Иными словами, ускорение w, входящее в формулу (13.1), является величи- ной, не зависящей от положения материальной точки, и представляет собой ус- корение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.
' В
этом случае действующие на материальную точку силы инерции
F Fин , в соответствии с (13.5), также будут одинаковыми в любом месте не-
инерциальной системы отчета и не будут зависеть от скорости частицы:
F
(13.7)
Отметим, что если неинерциальная система отсчета движется поступа- тельно, но по криволинейной траектории, то ее ускорение можно разложить на
две составляющие: нормальное
wn и тангенциальное w (см. лекцию 3, § 1).
Соответственно этому можно ввести две составляющие силы инерции:
Fин
|
|
Рассмотрим пример, когда неинерциальная система отсчета движется прямолинейно с ускорением w относительно инерциальной. Выберем систе- мы координат так, чтобы оси х и были направлены вдоль ускорения w (рис. 13.1).
Из рис. 13.1 очевидно, что:
x
y . (13.9)
z
Рис. 13.1
Продифференцировав равенства (13.9) дважды по времени, получим:
d 2 x
dt 2 ,
d 2 y
dt 2 ,
d 2z
dt 2
d 2z
dt 2
или, по (2.9а):
a x a x
w x,
.
Последнее равенство можно переписать в векторном виде:
a w.
(13.10)
Пусть, например, материальная точка покоится в системе К, тогда ее ко- ординаты x, y, z постоянны, значит, ее ускорение в системе К:
Тогда из (13.10) следует, что в этом случае:
a w,
т.е. для наблюдателя в системе рассматриваемая материальная точка дви-
жется с ускорением a, направленным в сторону, противоположную ускоре-
нию самой системы К. Скажем, Вы сидите в троллейбусе и смотрите из окна на лежащий на земле камень. Троллейбус трогается от остановки с ускорением
|
правленным противоположно ускорению троллейбуса w. Желая применить второй закон Ньютона в системе, связанной с троллейбусом, Вы запишите
|
a
и будете объяснять ускорение камня (в Вашей системе К!) действием фиктив-
ной силы:
F mw.
Теперь разберем другой пример с тем же троллейбусом. Пусть Вы стоите
в пустом проходе троллейбуса, троллейбус трогается от остановки и начинает
двигаться с ускорением
F
w. Вы чувствуете, что на Вас действует сила
Mw,
направленная в сторону, противоположную ускорению троллейбу-
са. И, хотя эта сила фиктивная и не подчиняется третьему закону Ньютона (нельзя указать тело, являющееся источником этой силы!), под действием этой
силы верхняя часть Вашего тела приобретет ускорение
(ноги удерживает
сила трения!), и Вы вполне реально начинаете падать (относительно троллейбу- са). С точки зрения Вашего друга, наблюдавшего эту же ситуацию с остановки (в инерциальной системе К), на Вашу голову не действуют никакие силы, и она, по первому закону Ньютона, остается в покое относительно системы К (ос- тановки). А вот троллейбус уезжает от Вас вперед с ускорением. Ноги за счет
|
|
силы трения приобретают ускорение падать!
w, а голова пока в покое, и Вы начинаете
§ 3. Центробежная сила инерции
Пусть Ваш троллейбус делает поворот по дуге радиуса R. И Вы опять чув- ствуете на себе действие силы инерции, которая тянет Вас от центра окружно- сти, по которой движется сейчас троллейбус. Эта сила инерции называется цен- тробежной силой инерции. Понять ее происхождение несложно. Введем опять две системы координат: инерциальную К и неинерциальную К. Оси z этих систем пусть совпадают и направлены из центра окружности, по которой дви- жется троллейбус, вверх.
Оси x и y неподвижны относительно земли, а оси и поворачиваются вместе с троллейбусом Т (см. рис. 13.2). Причем угол поворота равномерно увеличивается с течением времени z с угловой скоростью
ω t.
Рис. 13.2
Систему К будем считать инерциальной, а систему К – неинерциальной.
Материальная точка (Ваше тело) в системе К движется по окружности ра- диусом R с ускорением a, направленным к центру этой окружности. Это уско- рение определяется, в соответствии формулой (7.7):
|
|
|
a . (13.11)
Вектор R на рис. 13.2 направлен от центра окружности к материальной точке, ускорение a направлено против вектора R.
В инерциальной системе К, связанной с землей, причиной ускорения явля-
ется сила F, с которой Вы тянете или толкаете себя, держась за какую-либо часть троллейбуса, к центру окружности. (Если Вам повезло и Вы сидите, то на Вас такая же сила действует со стороны кресла троллейбуса.)
По второму закону Ньютона, в инерциальной системе К:
ma F.
С учетом (13.11) отсюда имеем:
mRω2
F. (13.12)
В неинерциальной системе Вы покоитесь, Ваше ускорение 0.
Желая применить второй закон Ньютона в этой системе отсчета, Вы, чтобы по-
|
|
лучить нулевое ускорение a,
должны записать:
ma F
так как a 0, то предыдущее уравнение переходит в следующее:
0 F (13.13)
т.е. в системе сумма сил должна быть равна нулю.
В уравнении (13.13) F – реальная сила, – сила инерции. С учетом
(13.12) из (13.13) для силы инерции F
Fц.б.
имеем:
Fц.б.
mω2R . (13.14)
Эту силу инерции называют центробежной силой инерции, так как она на-
правлена от центра окружности (по вектору R, как следует из формулы (13.14) и из личного опыта каждого пассажира).
Центробежная сила инерции не зависит от того, покоится ли тело в систе- ме или движется относительно нее с какой-то скоростью (скорость не
входит в формулу (13.14)). При точных расчетах поведения тел в системе от- счета, связанной с Землей, нужно учитывать центробежную силу инерции. Эта сила максимальна на экваторе, где R = Rз = 6,38 106 м. Угловая скорость вра- щения Земли вокруг своей оси может быть найдена по формуле (7.9), куда в ка- честве периода Тз надо подставить количество секунд в сутках:
Тз = 60 60 24 = 86400 с.
С учетом этого имеем:
ωз 2π Tз
6,28
86 400
7,27 10
рад.
c
На тело массой m = 1 кг на экваторе с учетом приведенных значений Rz и
z действует, в соответствии с (13.14), центробежная сила инерции:
F ц.б.
1 7,27 10
5 2 6,38
106
0,0337 H,
что составляет 1/291 часть от силы тяжести, равной 9,81 Н. Сила тяжести mg
является равнодействующей гравитационной силы
Fγ, направленной к центру
Земли и центробежной силы инерции
Fц.б., направленной перпендикулярно
оси вращения Земли. В результате этого направление силы тяжести mg
не сов-
падает с направлением к центру Земли (за исключением экватора и полюсов). Величина ускорения свободного падения зависит от широты: на экваторе ми- нимальна гравитационная сила (из-за сплюснутости Земли с полюсов) и макси- мальна центробежная, в результате там значение g минимально и равно gэкв = 9,780 м/с2. На полюсах g максимально и равно gпол = 9,832 м/с2.
§ 4. Сила Кориолиса
При движении тела во вращающейся системе отсчета, кроме центробеж- ной силы инерции, возникает еще одна, которую называют силой Кориолиса, или кориолисовой силой. Величина этой силы определяется формулой:
F
здесь m – масса тела;
к 2m v ω, (13.15)
v – вектор скорости тела относительно вращающейся (неинерциальной) системы отсчета;
ω – вектор угловой скорости вращения неинерциальной системы отсчета.
Рассмотрим, как и в предыдущем параграфе, две системы отсчета К и К, оси z и которых совпадают с осью вращения системы относительно К. Пусть тело массой m неподвижно относительно инерциальной системы отсчета К.
Тогда относительно системы оно будет двигаться по окружности радиуса R с линейной скоростью, которую можно найти с помощью формулы (7.4), если поставить там знак «минус»:
v ωR
. (13.16)
Рис. 13.3
Эта ситуация изображена на рис. 13.3. Как мы знаем из предыдущего пара- графа, на тело массой m во вращающейся системе отсчета К, независимо от состояния его движени,я действует центробежная сила инерции, направленная, в соответствии с формулой (13.14), от центра окружности, по которой движет- ся тело:
Fц.б.
mω2R.
Но для движения по окружности необходима сила, направленная к центру этой окружности. Значит, кроме центробежной силы инерции, на наше тело должна в системе действовать еще одна сила, направленная, в нашем случае, против центробежной. Векторная сумма этих сил должна обеспечить центрост- ремительное ускорение этому телу:
a aц.с.
Rω2
. (13.17)
Этой второй фиктивной силой в нашей системе отсчета и является сила
Кориолиса
Fк. Действительно, в соответствии с (13.15), Fк
направлена (в соот-
ветствии с правилом правого винта) к центру окружности. Ее модуль, с учетом
(13.16) и (13.15), равен: 2
Fк 2mω R.
Вычитая из силы Кориолиса центробежную, равную m 2R, получим рав- нодействующую, направленную к центру окружности и равную:
F Fк
Fц.б.
2mω2R
mω2R
mω2R.
В векторном виде:
F -mω2R. (13.18)
Если мы желаем применить второй закон Ньютона в неинерциальной сис- теме отсчета, то мы должны сумму всех сил, включая и фиктивные, приравнять
к массе тела, умноженной на его ускорение a aц.c.. Так как тело покоилось в
системе К, то сумма реальных сил F
0, тогда:
ma . 13.19)
Подставляя (13.17) и (13.18) в (13.19), видим, что - векторная сумма си- лы Кориолиса и центробежной силы сообщают телу центростремительное ус- корение. Действительно:
mRω2 mω2R.
Вывод формулы (13.15) достаточно сложен, и мы его не приводим. Разо- бранный пример прост и убедительно показывает правильность формулы (13.15).
Сила Кориолиса играет исключительно важную роль при движении боль- ших потоков океанических вод и атмосферного воздуха на нашей планете. Силу Кориолиса должны учитывать артиллеристы и ракетчики при стрельбе на даль- ние расстояния. Эта же сила приводит к тому, что у рек в северном полушарии подмывается всегда правый берег (например, крутые правые берега у Оби), в южном – левый.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 13
1. Для использования второго закона Ньютона в неинерциальных системах отсчета надо, кроме истинных сил, учитывать фиктивные силы или силы инер- ции.
2. Силы инерции не являются силами взаимодействия, поэтому не подчи- няются третьему закону Ньютона.
3. Суммарная сила инерции , действующая на тело массой m в неинер- циальной системе отсчета, равна по величине и противоположна по направле- нию произведению массы тела на w разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета, т.е. п (13.5):
F
mw,
где w определяется в соответствии с (13.1):
w a
4. При поступательном движении неинерциальной системы отсчета отно-
|
сительно инерциальной силы инерции F
Fин
одинаковы в любом месте не-
инерциальной системы и не зависят от скорости движения частицы, их величи- на определяется формулой (13.7):
Fин
mw,
где w – ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциаль- ной.
5. Во вращающейся системе отсчета действуют центробежные силы инер- ции и силы Кориолиса.
6. Величина центробежной силы инерции тицы и определяется формулой (13.14):
Fц.б.
не зависит от скорости час-
Fц.б.
mω2R,
где - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета относи- тельно инерциальной;
R – расстояние от материально точки массой m до оси вращения.
7. Сила Кориолиса F к
действует на частицу массой m, движущуюся со
скоростью относительно неинерциальной системы отсчета, вращающейся со
скоростью ω (см. (13.15)):
F к 2m v / ω.
Направление силы Кориолиса перпендикулярно векторам и ω и опре- деляется по правилу правого винта.
Учебное издание
Тюшев Александр Николаевич
Вылегжанина Вера Дмитриевна
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
Часть 1 Механика
Пособие для студентов 1 и 2 курсов
Ответственный редактор: Серегин Г.В. Редакторы: Деханова Е.К.
Шилова Л.Н.
Изд. лиц. № ЛР 020461 от 04.03.1997.
Подписано в печать 30.04.03. Формат 60 84 1/16 Печать цифровая
Усл. печ. л. 6.68. Уч.-изд. л. 6.85. Тираж 100 Заказ Цена договорная
Гигиеническое заключение
№ 54.НК.05.953.П.000147.12.02. от 10.12.2002.