Производная скалярного поля по направлению

Рассмотрим .

Частные производные функции : – определяют скорость изменения скалярного поля по направлениям координатных осей.

Рис. 9.2

Рассмотрим произвольное направление в пространстве, определяемое направляющим вектором единичной длины (см. рис. 9.2). Определим скорость изменения скалярного поля в направлении . Пусть точки и .

Производной скалярного поля в точке по направлению прямой назовем следующий предел:

где берется со знаком «+», если направление совпадает с направлением , и со знаком «-» в противоположном случае. Пусть – углы, образованные прямой с осями координат , тогда вектор имеет координаты:

Пусть имеет координаты , а – координаты

Запишем приращение в виде:

где , т.к. , то

Пример:

Вычислить производную поля в точке по направлению , если

– длина вектора

– единичный вектор направления .

Вычислим скалярное произведение векторов и :

Оказалось, что

в этом направлении скалярное поле возрастает.

Градиент скалярного поля.

Рассмотрим формулу для вычисления производной по направлению

Формула имеет вид скалярного произведения вектора и вектора с координатами .

Определение.

Вектор с координатами называется градиентом функции в точке и обозначается:

Свойства градиента:

Введем дифференциальный оператор «набла»

Свойства оператора «набла» повторяют свойства градиента.

9.2. Связь вектора градиента с производной по направлению

Если обозначить через угол между вектором-градиентом и единичным вектором , то

(по определению скалярного произведения )

Производная поля по направлению , определяющая скорость роста в этом направлении, будет максимальна, если . Т.е. когда направление вектора совпадает с направлением вектора градиента. Обозначим через это направление максимальной скорости изменения функции:

(максимально по всем направлениям)

Пример:

9.3. Теорема об ортогональности вектора градиента поверхности уровня

Рис. 9.3

Вектор градиент в каждой точке скалярного поля направлен ортогонально касательной плоскости, проведенной в данной точке к поверхности уровня, проведенной через (см. рис. 9.3).

Доказательство:

Проведем на касательной плоскости произвольную прямую l, проходящую через . На поверхности уровня проведем линию через так, что l направлена по касательной к . Кривую в пространстве зададим вектор-функцией:

То, что поверхности уровня означает, что координаты кривой удовлетворяют уравнению поверхности уровня .

Продифференцируем это тождество:

Это равенство можно переписать как скалярное произведение векторов:

т.к. – произвольная прямая, то будет ортогонален любой прямой, проходящей через т. и лежащей в касательной плоскости , т.е.

Нормаль к поверхности.

Нормалью к поверхности называется вектор, ортогональный касательной плоскости, проведенной к данной поверхности в данной точке. Выше доказано, что по нормали к поверхности направлен вектор .

Единичный вектор нормали к поверхности находится делением градиента на его длину

Пример:

Найти единичный вектор нормали к поверхности в точке . Указанная поверхность является параболоидом вращения (см. рис. 9.4).

Рис. 9.4

Перепишем уравнение параболоида в виде:

Тогда:

Инвариантность вектора градиента.

Градиент скалярного поля есть вектор, направленный в любой точке поля в сторону роста значений скалярного поля по направлению наибольшей скорости этого роста. Длина вектора градиента в любой точке равна наибольшей скорости изменения поля в этой точке.

Градиент – вектор, длина и направление которого определены для заданного поля в заданной точке , т.е. является характеристикой поля и не зависит от системы координат.

Вывод: вектор скалярного поля, является характеристикой поля, инвариантен по отношению к выбору системы координат.

9.4. Векторные поля. Основные понятия.

Определение векторного поля.

В области пространства задано векторное поле, если любой точке поставлен в соответствие вектор .

Примеры векторных полей:

Поле тяготения, поле скоростей движения жидкости, поле электрической или магнитной напряженности, и т.п.

В декартовой системе точка имеет координаты , а вектор в координатной форме будет иметь вид:

Т.е. задание векторного поля в пространстве эквивалентно заданию трех функций от трех переменных в области .

Будем в дальнейшем предполагать, что все эти функции непрерывны в вместе с частными производными. Так как каждый вектор характеризуется величиной и направлением, то задание в векторного поля означает задание в поля длин и поля направлений. В качестве геометрической характеристики векторного поля направлений можно ввести понятие векторных линий поля.

Определение.

Векторной линией векторного поля назовем всякую линию, которая в каждой своей точке касается векторов векторного поля .

Рис. 9.5

Запишем уравнение векторных линий (см. рис. 9.5):

Производная – вектор, направленный в каждой точке кривой по касательной к ней. Следовательно, чтобы была векторной линией векторного поля нужно, чтобы векторы и были коллинеарны, т.е.

или в координатной форме:

после исключения коэффициента :

Эта система дифференциальных уравнений после интегрирования дает уравнения векторных линий поля. Отметим, что в силу условий, наложенных на функции (непрерывные, с непрерывными частными производными) выполнена теорема существования и единственности решения, т.е. через любую точку области проходит единственная векторная линия, являющаяся интегральной кривой системы.

Пример:

Поле напряженности магнитного поля , создаваемого электрическим током силы , текущим по бесконечному проводнику, будет плоским. Если выбрать систему координат так, чтобы проводник располагался внутри оси , то в каждой плоскости поле будет одинаковым

Тогда с точностью до множителя поле имеет вид

т.е. коллинеарно .

Запишем уравнение векторных линий для поля :

Рис. 9.6

или

Интегрирование этой системы дает следующий вид векторных или силовых линий поля:

– окружности в плоскостях оси .

(см. рис. 9.6)

Введем в рассмотрение понятие векторной трубки, помещенной в векторное поле. В область заданного векторного поля поместим замкнутый контур и через точки контура проведем векторные линии. Образуется некоторая поверхность, которую и будем называть векторной трубкой. Поверхность , натянутую на контур , назовем сечением трубки. Любая векторная линия , вошедшая в векторную трубку через сечение , может выйти из нее только через другое сечение , т.е. векторная линия не может пересечь боковую поверхность векторной трубки. Если это допустить, то через точку боковой поверхности пройдут две векторные линии: и образующая трубки. А это противоречит теореме единственности векторных линий.

Рис. 9.7

Дивергенция векторного поля.

Определение.

Дивергенцией векторного поля

называется функция

Свойства дивергенции:

1) линейность:

или

2) если

3) если – скалярное поле, то

или

Пример:

Ротор векторного поля.

Определение.

Ротором векторного поля назовем вектор

Свойства ротора:

1) ;

2) если , то ;

3) если – скалярное поле, то

Доказательство:

Пример:

Доказать равенство:

Аналогично выписывается и . Тогда

П.ч.:

Механический смысл вектора ротора.

Рис. 9.8

Пусть – поле скоростей точек движущегося твердого тела. Следовательно, в любой момент времени t ,

где – скорость поступательного движения тела в момент времени t, одинаковая для всех точек тела;

– угловая скорость тела, равная ;

– радиус-вектор точек тела.

Если вращение происходит вокруг оси Oz (см. рис. 9.8), то , где – величина (модуль) угловой скорости и , т.к.

Тогда

т.е. ротор поля скоростей равен удвоенной угловой скорости твердого тела.

Дифференциальные характеристики 2-го порядка.

Пусть имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Построим функцию . Оператор называется дифференциальным оператором Лапласа.

С введенным ранее оператором («набла») он связан соотношением: .

Действительно, рассмотрим скалярный квадрат

Тогда

Итак, были введены ранее дифференциальные характеристики 1-го порядка:

1) ;

2) ;

Применяя к полученным полям те же операции (градиент, ротор, дивергенцию), получим дифференциальные характеристики 2-го порядка:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

9.5. Поток векторного поля

9.5.1. Поверхностный интеграл II-го рода.

Поверхность называется двусторонней, если для любой точки М и любого контура С, проходящего через М и не пересекающего границы , после его обхода мы возвратимся в М с исходным направлением нормали. Примеры двусторонней поверхности: сфера, куб, плоскость.

Поверхность – односторонняя, если существует хотя бы один замкнутый контур, обходя который мы вернемся в исходную точку с противоположным направлением нормали.

Рассмотрим двустороннюю поверхность . Выберем одну сторону . Пусть функция определена в точках этой поверхности, тогда предел

где – площадь проекции элемента поверхности на плоскость хOу, называется поверхностным интегралом II-го рода и обозначается

9.5.2. Определение потока векторного поля.

Если – непрерывны и – сторона гладкой поверхности, характеризуемая направлением нормали , то поверхностный интеграл II-го рода называется потоком векторного поля через поверхность в сторону нормали .

9.5.3. Физический смысл потока векторного поля.

Рис. 9.9

Пусть векторное поле есть поле скоростей стационарного потока несжимаемой жидкости (скорость потока в любой точке постоянна и не зависит от времени). Внутрь потока поместим проницаемую поверхность и определим количество жидкости, протекающей через за единицу времени.

Рассмотрим вначале случай, когда , а площадка плоская.

Тогда количество жидкости равно объему наклонного параллелепипеда с высотой , т.е. , где – единичный вектор нормали к (см. рис. 9.9).

Потоком постоянного векторного поля через плоскую площадку с нормалью назовем:

(9.1)

Модуль этой величины равен количеству жидкости, протекающей через за единицу времени.

Рассмотрим теперь произвольное поле и любую двустороннюю поверхность .

Выберем направление нормали к и разобьем ее произвольно на части с нормалями . Считая приближенно площадки плоскими, а поле в пределах этой малой площадки неизменным, поток через будем считать равным . Тогда поток через всю поверхность равен:

Переходя к пределу при , получим точное значение потока:

(9.2)

Поток обладает свойствами линейности, аддитивности, при изменении направления нормали к поверхности меняет знак.

9.5.4. Вычисление потока.

Повторим определение потока векторного поля:

Вычисление потока можно производить методом проектирования поверхности на какую-либо координатную плоскость. Так, например, если однозначно проектируется на плоскость хOу, то .

Если проектируется на все три координатные плоскости однозначно, то поток можно вычислить по формуле:

– проекции на соответствующие координатные плоскости.

Пример:

Рис. 9.10

Найти поток векторного поля через поверхность треугольника с вершинами в точках (см. рис. 9.10). Нормаль предполагается направленной от начала координат.

1) Первый способ:

Уравнение плоскости треугольника: .

Нормаль к поверхности, то есть вектор имеет координаты , что следует из уравнения плоскости.
Тогда единичная нормаль:

или

Вычислим скалярное произведение

И подставим в формулу для вычисления потока:

2) Второй способ:

Треугольник ABC однозначно проектируется на все три координатные плоскости.

Вычислим три слагаемых отдельно:

Тогда

9.5.5. Теорема Остроградского – Гаусса.

Если поверхность – замкнутая, ограничивающая некоторый объем , то поток поля через в направлении внешней нормали равен:

(9.3)

или в координатной форме:

Доказательство:

В начале доказательства приведем следующие соображения. Если объем разбить на части и предположить, что формула (9.3) верна для каждого из объемов , то она будет верна и для всего объема , т.к. для тройного интеграла справедливо свойство аддитивности.

Суммируя поверхностные интегралы по поверхностям , ограничивающим объемы , мы также получим интеграл по поверхности , ограничивающей все тело , т.к. интегралы по построенным при разбиении перегородкам внутри будут браться дважды с противоположными направлениями нормалей и, поэтому, будут взаимно уничтожаться.

Разобьем теперь тело на произвольные части рядом вертикальных поверхностей так, чтобы полученные объемы были просты относительно какой-либо из координатных плоскостей, например, для начала, относительно xOy.

Это означает, что объем будет ограничен поверхностями и , уравнения которых запишутся соответственно и и боковой цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz (см. рис. 9.11).

Поверхности предполагаются кусочно-гладкими. Тело при этом будет проектироваться в область на плоскости xOy.

Направление нормалей выберем внешними по отношению к объему .

Обратимся к координатной форме записи теоремы.

Положим , и докажем формулу:

где .

Рис. 9.11

Тройной интеграл в правой части сведем к повторному:

т.к. в силу того, что оси Oz, т.е. .

Аналогичным образом доказываются и две другие части формулы

разбиениями на части , простые относительно плоскостей yOz и xOz соответственно.

Сложение полученных результатов дает искомую формулу.

Пример:

Вычислить поток векторного поля: через замкнутую поверхность конуса: двумя способами: а) непосредственно; б) по теореме Остроградского – Гаусса.

Рис. 9.12

а) непосредственно.

Поверхность состоит из двух частей и (см. рис. 9.12):

Тогда по свойству аддитивности поток через поверхность будет являться суммой потоков, протекающих через ее части:

б) по теореме Остроградского – Гаусса.
Вычислим дивергенцию данного векторного поля:

В исследуемой задаче она получилась постоянной, что приводит к удобному вычислению тройного интеграла, как объема конического тела:

Здесь использовалось свойство тройного интеграла: тройной интеграл от единицы равен объему области интегрирования.

9.5.6. Физический смысл дивергенции. Источники и стоки.

Рис. 9.13

Пусть – некоторая точка области , в которой задано векторное поле . Окружим замкнутой поверхностью (см. рис. 9.13), ограничивающей объем , и применим формулу Гаусса-Остроградского

Справа записана теорема о среднем для тройного интеграла. – некоторая «средняя» точка внутри . Следовательно,

Перейдем в этом равенстве к пределу, сжимая поверхность в точку . Тогда , и в силу непрерывности дивергенции,

Из этого равенства два вывода:

1. Предел в правой части не зависит от способа стягивания поверхности в точку , т.к. он равен дивергенции в точке (числу).

2. Так как правая часть определена независимо от выбора систем координат, то инвариантно и понятие дивергенции.

Величина называется средней плотностью потока в окрестности точки , а ее предел при называется плотностью потока в

Источники и стоки

Рассмотрим поток векторного поля через замкнутую поверхность . Векторное поле будем трактовать как поле скоростей течения жидкости. В этом случае положительное значение потока векторного поля через замкнутую поверхность означает, что из области, ограниченной поверхностью , вытекает жидкости больше, чем втекает в нее. Значит, в области имеются точки или подобласти, в которых жидкость образуется (например, образование воды за счет таяния снега или льда). Точки такого рода называют источниками векторного поля. Аналогично, отрицательное значение потока через поверхность означает, что в область втекает жидкости больше, чем вытекает из нее. Значит, в области есть такие точки, в которых жидкость исчезает (например, испаряется или замерзает). Такие точки называются стоками векторного поля.

Точечный источник или сток характеризуют интенсивностью, равной объему жидкости, которая возникает или исчезает в этой точке в единицу времени, а распределенные источники или стоки – плотностью интенсивности, т.е. количеством жидкости, возникающей или исчезающей в единице объема в единицу времени. Интенсивность стоков удобно считать отрицательной, полагая, что сток – это источник отрицательной интенсивности. Тогда поток векторного поля скоростей через поверхность получает естественную интерпретацию как суммарная интенсивность всех источников и стоков в области, ограниченной этой поверхностью.

Формула , полученная нами выше, означает, что значение предела определяет интенсивность распределенного источника в точке .

– источник в .

– сток в .

Т.е. знак дивергенции обозначает преимущество в области источников или стоков.

Символ образован от первых букв латинского слова – расхождение. Этот символ, как и само слово «дивергенция», ввел в 1878 г. английский математик Клиффорд. Величину с противоположным знаком Максвелл называл конвергенцией и обозначал (от латинского – схожусь).

9.6. Циркуляция векторного поля

9.6.1. Основные понятия.

Пусть непрерывное векторное поле образовано вектором

непрерывны, с непрерывными частными производными.

Рис. 9.14

Возьмем в этом поле некоторую кусочно-гладкую замкнутую кривую и выберем на ней определенное направление (см. рис. 9.14).

Пусть – радиус точки , принадлежащей . Вектор направлен по касательной к в направлении ее обхода и

Циркуляцией вектора вдоль называется интеграл:

т.е. циркуляция – это линейный интеграл векторного поля по замкнутому контуру.

Если рассмотреть векторное поле скоростей текущей жидкости и в этот поток поместить замкнутый контур , то скалярное произведение в каждой точке контура дает проекцию вектора скорости на направление касательной к контуру. Эта составляющая вектора скорости будет стараться повернуть контур в потоке вокруг направления, определяющего нормаль к плоскости контура. Следовательно, циркуляция характеризует вращательную способность потока.

9.6.2. Формулировка Теоремы Стокса

Если в пространственной области задано векторное поле и в области находится кусочно-гладкая незамкнутая поверхность , натянутая на контур , и – вектор нормали к поверхности , то циркуляция вектора по контуру равна потоку вектора через , т.е.

Причем контур обходится так, что с конца вектора он видится проходимым против часовой стрелки.

В координатной форме теорема Стокса запишется

В плоском случае, когда , теорема Стокса дает формулу Грина:

Циркуляция поля по краю поверхности (по контуру) равна потоку ротора поля через эту поверхность.

Пример:

Вычислить циркуляцию вектора по контуру :

Рис. 9.15

(см. рис. 9.15)

а) непосредственное вычисление:

Параметризуем контур :

б) по теореме Стокса

– нормаль к плоскости

– единичная нормаль к плоскости контура

(Здесь – круг радиуса 4 с центром в нуле)

9.6.3. Инвариантность вектора ротора

Запишем формулу Стокса, применив к поверхностному интегралу теорему о среднем значении:

Разделим на :

Отношение циркуляции к площади поверхности можно считать средней плотностью циркуляции внутри контура . Если стягивать конур в точку , то и

есть плотность циркуляции вектора в точке вокруг выбранного направления . Итак, проекция ротора в точке на заданное направление равна плотности циркуляции векторного поля