Теорема 3 (следствие из формулы Грина)

Если в односвязной области определены непрерывные функции ; с непрерывными частными производными, и точки , то интеграл не зависит от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда

Пример:

Показать, что интеграл J не зависит от формы пути и вычислить его (рис. 7.9)

, т.е. выполнены условия теоремы 3.

(на пути AC ; на пути CB )

Рис. 7.9

7.4. Приложение криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов I-го рода можно вычислять координаты центра масс материальной линии с переменной плотностью по формулам.

Здесь – масса.

Криволинейный интеграл I рода вида

, где – расстояние точки до некоторой оси, а – плотность в точке M, задает так называемый момент инерции материальной линии относительно некоторой оси.

Момент инерции относительно начала координат также можно вычислить с помощью криволинейного интеграла I рода:

Здесь выражение задает расстояние от точки до начала координат.

Как уже говорилось, с помощью криволинейного интеграла по координатам вычисляется работа A переменной силы на пути :

, где – вектор-функция, определяющая кривую .

Если кривая – замкнутая, то такая работа называется циркуляцией:

8. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

8.1. Вычисление площади поверхности

Рис. 8.1

Рассмотрим поверхность (см. рис. 8.1).

: а) однозначна;

б) обладает непрерывной частной производной;

в) проектируется в область .

Задача: Найти площадь поверхности –

Разобьем о.о.ф. , область , на куски ; тогда на получим соответствующее разбиение .

Рис. 8.2

В каждой произвольно выберем и . В каждой точке проведем касательную плоскость (см. рис. 8.2). Найдем площадь того куска касательной плоскости, который проектируется (вместе с ) в . Уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

А вектор – вектор нормали к поверхности в точке . Через обозначим угол между касательной плоскостью и плоскостью . Он равен углу между и единичным вектором оси . Тогда

Площадь куска касательной плоскости примерно равна площади куска поверхности , который проектируется в . Тогда

Это равенство следует из прямоугольного треугольника (см. рис. 8.3).

Рис. 8.3

Составим интегральную сумму:

Обозначим ,

где – элемент поверхности , при условии, что предел существует и не зависит от разбиения.

Рис. 8.4

Пример:

Вывести формулу для вычисления площади поверхности сферы радиуса R.

Поверхность сферы задается уравнением . Отсюда уравнение верхней полусферы , проекцией полусферы на является область , представляющая собой круг: (см. рис. 8.4).

8.2. Поверхностные интегралы I-го рода

8.2.1. Определение поверхностного интеграла I-го рода.

Мерой фигуры (поверхности в пространстве) назовем ее площадь . Поверхность будем предполагать гладкой, т.е. такой, что в любой ее точке существует касательная плоскость к поверхности. На поверхности зададим функцию , определенную в каждой точке . Разобьем на произвольные части , на каждом из кусков поверхности произвольно выберем точку , вычислим значение функции в этих точках и составим интегральную сумму следующего вида: .

Обозначим . Тогда предел, при условии, что он существует и не зависит от разбиения, равный

– называется поверхностным интегралом от функции по площади поверхности или поверхностным интегралом I-го рода, где – элемент поверхности.

Поверхностный интеграл I-го рода является частным случаем интеграла по фигуре. Следовательно, для него верны свойства: линейность, аддитивность, теорема об оценке, теорема о среднем, при равен .

8.2.2. Вычисление поверхностного интеграла.

Пусть гладкая поверхность однозначно проектируется на какую-либо координатную плоскость. Например, пусть задана уравнением и проектируется в область плоскости . Элемент поверхности проектируется на площадку области , и если – угол между осью Oz и нормалью к , то