2020-04-12
2230
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ИНТЕГРАЛЫ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКВА 2013
ББК 22.161я73
Б 43
УДК 517(075)
Рецензенты: д.ф.-м.н. Г.А.Кабатянский
д.п.н. В.А.Лазарев
Б 43 Белецкая Н.В. Лекции по математическому анализу. Интегралы. Учебное пособие / Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессиональ-ного образования «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики» – М., 2013. – 160 с.
В основу настоящего пособия положена вторая из четырех частей курса лекций по дисциплине «Математический анализ», который читается студентам дневного отделения МИРЭА. В пособии изложены следующие разделы математического анализа: неопределенный интеграл и методы его вычисления; определенный и несобственный интегралы, их геометрические приложения; кратные и криволинейные интегралы; скалярные и векторные поля. Рассматривается большое количество примеров и задач.
Ил. 78. Библиогр.: 3 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.
ISBN 978-5-7339-0894-6 с Н.В.Белецкая, 2013
с МГТУ МИРЭА, 2013
ВВЕДЕНИЕ
Курс лекций по математическому анализу имеет целью дать студентам базовые знания по одному из классических разделов математики, который является основой для многих математиче-ских и технических дисциплин, изучаемых ими в дальнейшем.
Настоящее пособие составлено на основе многолетнего опыта чтения курса лекций по математическому анализу автором – доцентом Н.В. Белецкой для студентов 1 – 2 курсов дневного отделения МИРЭА. Оно является вторым из четырёх планируемых пособий и отражает, соответственно, материал второго учебного семестра.
Базой для составления данного пособия явился конспект, записанный студентами в 2004 – 2006 г.г. и, как всякий конспект не претендовал на полноту изложения. В данном пособии некоторые разделы изложены более подробно, большинство теорем снабжены достаточно подробными доказательствами, вынужденно опущенными при чтении лекций.
Тематика разделов настоящего пособия дает представление о структуре курса. Условно он может быть разбит на следующие части: неопределенный интеграл и методы его вычисления; определенный и несобственный интегралы, их геометрические приложения; кратные и криволинейные интегралы; скалярные и векторные поля.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством практических задач с подробными решениями.
В списке литературы приведен перечень книг, которые рекомендуются к прочтению как для более полного усвоения предлагаемого курса, так и для углубленного изучения предмета, выходящего за рамки тематики конспекта.
Автор выражает надежду, что данное пособие поможет студентам в изучении курса математического анализа и будет признателен тем читателям, которые выскажут конструктивные замечания или укажут на имеющиеся опечатки.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Первообразная, неопределенный интеграл
Задачей дифференциального исчисления являлось нахождение производной или дифференциала данной функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции 
ищется такая функция 
, чтобы 
или 
, т.е., другими словами, по данной производной или дифференциалу функции требуется восстановить эту функцию.
Примеры:
§ Пусть 
. Ясно, что эта функция есть производная от функции 
. Но верным будет и ответ 
или 
, где 
– любая действительная константа.
§ Пусть 
. В этом случае сразу ответить на вопрос, чему равна , непросто.
Определение 1.
Функция называется первообразной для функции , определенной на интервале 
, если дифференцируема на и или .
Замечание 1. Аналогично можно определить первообразную для функции, определенной на всей числовой оси 
или на полупрямой, например 
.
Замечание 2. Существование первообразной для данной функции не означает, что эта первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции. Так, например, для функции 
, непрерывной на всей числовой прямой, существует первообразная , так что 
, однако не может быть выражена комбинацией из конечного числа элементарных функций. Аналогично, это верно и для следующих функций: 
.
Из приведенного выше примера ясно, что если является первообразной для , то и функция 
, где 
– произвольная постоянная, является первообразной для . Как же связаны между собой первообразные для одной и той же функции ? Ответ на этот вопрос дает:
Теорема о множестве первообразных.
Если функция , определенная на интервале , имеет в данном интервале первообразную , то все первообразные выражаются формулой: . Другими словами, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на константу.
Доказательство:
Пусть – первообразная для , т.е. . Предположим, что существует другая первообразная 
для , т.е. 
. Тогда 
или 
, следовательно, 
, т.е. 
.
Определение 2.
Пусть имеет в данном промежутке первообразную 
, так что . Тогда является одним выражением для всех первообразных, и называется неопределенным интегралом от данной функции , что обозначается
В этой формуле называется подынтегральной функцией, а 
называется подынтегральным выражением.
Важно понять, что неопределенный интеграл – это совокупность функций.
Так как действие интегрирования обратно по отношению к дифференцированию, то правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
1.2. Свойства неопределенного интеграла
Прежде чем перейти к основным свойствам неопределенного интеграла, отметим (пока без доказательства) теорему о существовании первообразной, а, следовательно, и неопределенного интеграла у непрерывной функции.
Теорема о существовании первообразной и неопределенного интеграла у непрерывной функции.
Если функция 
(непрерывна на интервале), то на 
существует первообразная 
для данной функции и неопределенный интеграл.
Из определения 2 вытекают следующие 2 свойства:
Свойство 1.
Тот факт, что можно переписать в виде 
или, в дифференциалах, из условия, что , следует, что 
, т.е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, или дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению.
Свойство 2.
, т.е. интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная.
Эти два свойства означают, что стоящие рядом знаки 
и d взаимно «сокращаются» (в последнем случае следует лишь добавить const).
Отметим ещё одно важное свойство неопределенного интеграла.
Свойство 3. (свойство линейности неопределенного интеграла).
.
Это свойство проверяется дифференцированием левой и правой части равенства с использованием свойств линейности операции дифференцирования.
1.3. Таблица основных интегралов
Эта таблица получена как результат обращения таблицы производных основных элементарных функций.
1. 
; 
; 
2. 
; 
3. 
; 
; 
4. 
; 
5. 
; 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
,«длинный логарифм»
11. 
, «высокий логарифм»
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
Пример:
.
1.4. Методы интегрирования
1.4.1. Интегрирование подстановкой
Пусть функция 
непрерывна и дифференцируема на некотором интервале, а функция 
имеет первообразную , т.е. 
, тогда функция 
имеет первообразную 
, т.е.:
(1.1)
Доказательство формулы (1.1) непосредственно следует из правила дифференцирования сложной функции:
,
т.е. функция 
имеет своей первообразной функцию 
, что и доказывает формулу (1.1).
Пример:
.
Часто бывает целесообразно применять подстановку в виде 
, где 
– дифференцируемая функция и 
, причем функция 
легко интегрируется, т.е. интеграл 
легко вычисляется. Тогда 
.
Пример:
.
1.4.2. Подведение под знак дифференциала.
Непосредственно с методом подстановки связан прием, называемый подведением функции под дифференциал. Этот метод следует из формулы (1.1)
, который вычисляется.
Пример:
1.4.3. Использование свойства линейности интеграла.
Свойство линейности означает, что постоянные можно выносить за знак неопределённого интеграла, а интеграл от суммы функций равняется сумме интегралов от слагаемых.
Пример:
.
1.4.4. Интегрирование по частям.
Рассмотрим дифференцируемые функции 
и 
, тогда справедлива следующая формула:
, (1.2)
называемая формулой интегрирования по частям. Формулу (1.2) можно записать и по-другому:
(1.2’)
Докажем формулу (1.2). Для этого найдем дифференциал произведения 
:
Проинтегрируем полученное равенство:
или 
или 
, ч.т.д.
Эта формула сводит вычисление интеграла 
к вычислению интеграла 
, который в ряде случаев вычисляется проще, чем первый. С помощью формулы (1.2) вычисляются интегралы, содержащие произведения функций, различных по своей природе. Например:
и т.п.
Примеры:
1)
2)
Отсюда 
.
В примере 2 после повторного применения формулы (1.2) получается исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Из полученного относительно 
уравнения находим исходный интеграл. Подобным образом считаются интегралы 
и другие.
3) Примером на повторное применение формулы интегрирования по частям и возвращением к исходному интегралу может служить часто встречающийся интеграл 
, который можно в дальнейшем отнести к табличным:
2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.1. Сведения из алгебры
1. Всякий многочлен степени n
(2.1)
имеет ровно n корней в поле комплексных чисел, с учетом их кратности.
2. Если многочлен 
с действительными коэффициентами имеет комплексный корень 
кратности β, то и сопряженное число 
является корнем многочлена кратности β.
3. Любой многочлен , имеющий действительные корни 
кратности 
и комплексные корни 
кратностей 
, может быть представлен в виде:
Т.к. 
, где 
то можно окончательно записать:
, (2.2)
где 
– степень .
4. Любой приведенный квадратный трехчлен 
с комплексными корнями, т.е. с дискриминантом 
приводится к сумме квадратов, т.е.:
,
где 
.
5. Любой многочлен будем называть целой рациональной функцией. Дробно-рациональной функцией назовем отношение двух многочленов – т.е. функцию вида:
,
причем дробно-рациональную функцию назовем правильной рациональной дробью, если 
, и неправильной, если 
. Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой функции и правильной дроби. Это достигается делением рационального числителя на знаменатель до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени знаменателя.
Пример:
6. Простейшими дробями назовем дроби следующих четырех типов:
§ дробь I-го типа: 
;
§ дробь II-го типа: 
;
§ дробь III-го типа: 
;
§ дробь IV-го типа: 
;
где многочлен имеет комплексные корни, а 
.
7. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Любая правильная рациональная дробь 
с вещественными коэффициентами и знаменателем вида (2.2) представляется, и единственным образом, в виде суммы простейших дробей:
Пример:
Коэффициенты найдем, приведя правую часть к общему знаменателю и применяя метод неопределенных коэффициентов, т.е. сравнивая числители полученных дробей и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х:
2.2. Интегрирование рациональных функций
1. Интегрирование целых рациональных функций производится по таблице интегралов, т.е.:
2. Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию целой рациональной функции и правильной дроби. Всякая же правильная дробь согласно теореме представима в виде суммы простейших дробей, так что задача сводится к интегрированию простейших дробей. Рассмотрим интегрирование простейших дробей:
Дробь I типа: 
;
Пример:
Дробь II типа: 
;
Пример:
Более громоздкие вычисления придется провести в случае интегрирования дроби III-го типа:
т.е. интегрирование дробей третьего типа сводится к выделению в числителе выражения, равного производной от знаменателя, и выделению полного квадрата в знаменателе. Интегрирование простейшей дроби III-го типа всегда дает линейную комбинацию логарифма и арктангенса.
Пример:
.
С дробью IV-го типа поступим следующим образом:
Первый из интегралов – табличный, второй же элементарными преобразованиями может быть приведен к виду
,
который мы и проинтегрируем, используя уже известный метод интегрирования по частям:
где 
т.е. 
Получена рекуррентная формула, позволяющая понизить степень знаменателя. Последовательное применение этой формулы позволяет интеграл IV-го типа свести к интегралу от простейшей дроби III-го типа.
Итак, результатом интегрирования дробно-рациональных функций являются элементарные функции – 
, 
и рациональные функции.
Пример:
2.3. Метод Остроградского
Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861) предложил остроумный способ интегрирования правильной рациональной дроби 
, удобный, когда знаменатель имеет кратные корни, особенно комплексные. Способ разложения на простейшие в этом случае связан с громоздкими выкладками.
Отметим сначала, что при интегрировании дробей I и III типов получаем логарифмы и арктангенсы, т.е. нерациональные функции. Интеграл от дроби II-го типа есть правильная рациональная дробь, со знаменателем вида (
) в степени (
). Наконец, интеграл IV-го типа применением рекуррентных соотношений приводится к правильной рациональной дроби, со знаменателем, равным трехчлену 
в степени (
) и интегралу типа 
, приводящему к арктангенсу. После этого можно сделать вывод о том, чему будет равна рациональная часть интеграла от правильной рациональной дроби: это будет сумма правильных рациональных дробей со знаменателями: 
.
Указанная сумма будет правильной дробью 
со знаменателем вида:
.
Сумма тех простейших дробей, интегралы от которых приводят к нерациональным функциям, будет правильной рациональной дробью 
со знаменателем вида:
.
Таким образом, искомая формула Остроградского имеет следующий вид:
Для отыскания многочленов 
и 
их записывают с неопределенными коэффициентами, которые находят дифференцированием формулы Остроградского.
Пример:
Продифференцируем обе части равенства:
т.е. 
2.4. Различные способы нахождения неопределенных коэффициентов
2.4.1 Метод частных значений.
Этот метод разложения правильной дроби на простейшие удобно применять в том случае, когда корни знаменателя действительны и различны (кратности 1).
Пример:
Коэффициенты находятся следующим образом:
2.4.2. Классический метод неопределенных коэффициентов.Если среди корней знаменателя нет ни одного действительного, то можно воспользоваться сравнением коэффициентов при равных степенях переменной.
Пример:
так как 
2.4.3. Комбинированный метод.Этот метод удобен, когда среди корней знаменателя есть хотя бы один действительный корень.
Пример:
.
Подынтегральная функция разложена на простые дроби следующим образом:
Применяя метод частных значений (п. 2.4.1), найдем B и C:
Остальные коэффициенты найдем, применяя классический метод неопределенных коэффициентов (см. п. 2.4.2):
.
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
3.1. Интегрирование тригонометрических выражений
3.1.1. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Пусть 
, R – рациональная функция. Введем переменную 
, выразим подынтегральное выражение через t, учитывая формулы тригонометрии:
Пример:
3.1.2. Интегралы от тригонометрических функций специального вида.
Интеграл вида 
заменой 
можно свести к интегрированию рациональной функции. Аналогично, для интеграла 
удобно применить замену 
, а для интеграла 
– замену 
.
Пример:
3.1.3. Интегрирование произведений степеней синусов и косинусов одинакового аргумента: 
§ Если одно из чисел m или n – целое, нечетное, т.е. 
или 
, то следует отделить тригонометрическую функцию в четной степени, а оставшуюся внести под знак дифференциала. Также нужно учитывать, что 
Пример:
§ Если m и n – целые, четные, т.е. 
, то следует воспользоваться формулами понижения степени:
Пример:
3.1.4. Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных аргументов.
Пример:
Вычислить интеграл: 
3.1.5. Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащих корень квадратный из квадратного трехчлена.
Рассмотрим квадратный трехчлен 
, 
. Выделяя «полный квадрат», получим:
§ Если 
, то 
и интеграл 
преобразуется к виду:
В этом случае удобно сделать замену: 
или 
или 
.
§ Если 
, то 
Сделать замену: 
или 
или 
.
§ Если 
; 
, то 
Сделать замену: 
или 
или 
.
Примеры:
Вычислить интеграл:
1) 
2) 
Переменная t найдена следующим образом:
Решаем квадратное уравнение относительно 
:
Окончательно 
3) 
Такой заменой интеграл свёлся к интегралу от рациональной функции косинуса. Удобнее применить другую подстановку:
Действуя, как в предыдущем примере, получим:
Замечание.
При интегрировании выражений, содержащих гиперболические функции, удобно пользоваться следующими формулами, которые в каком-то смысле являются аналогами тригонометрических:
– гиперболическая единица.
Сравните с 
– тригонометрической единицей. А также сравните формулы понижения:
с 
,
с 
,
с 
.
3.1.6. Интегрирование выражений, содержащих иррациональности.
Для интегралов, содержащих дробно-линейные иррациональности, ниже приведена рекомендуемая схема замен, приводящих подынтегральную функцию к рациональному виду.
Для 
— 
,
для 
— 
,
для 
— 
,
для 
— 
,
где 
.
Примеры:
1)
2)
3)
Во всех приведенных примерах осталось проинтегрировать рациональные дроби.
Перейдем к интегралам, связанным с квадратным корнем из квадратного трехчлена. Выше было показано, что выражение 
приводится к сумме или разности квадратов, поэтому интегралы вида
или 
сводятся, соответственно, к
или 
,
которые либо являются табличными, либо уже рассматривались.
Пример:
В интегралах вида 
полезно в числителе выделить производную от подкоренного выражения.
Пример:
.
Интегралы вида 
сводятся к рассмотренным случаям заменой 
.
Пример:
В интегралах вида 
в некоторых частных случаях применяются так называемые подстановки Эйлера.
Если 
имеет комплексные корни, то замена 
, называемая I-ой подстановкой Эйлера, сводит подынтегральное выражение к рациональному.
Действительно,
Подставим это выражение:
Теперь вычислим дифференциал
Тогда
– рациональная функция от t.
II-ая подстановка Эйлера 
или 
применяется, если имеет различные вещественные корни 
, то есть
.
Пример:
.
Так как 
, сделаем подстановку 
, тогда 
и 
.
4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
4.1. Задача определения площади криволинейной трапеции
Рассмотрим задачу о вычислении площади плоской фигуры, ограниченной плоской кривой 
, определенной, непрерывной и неотрицательной на некотором отрезке 
, ограниченной отрезком 
и прямыми 
, 
.
Рис. 4.1
Разобьем 
произвольным образом на n отрезков 
длины 
, 
. На любом отрезке произвольно выберем точку 
и на отрезке, как на основании, построим прямоугольник высотой 
. Площадь одного такого прямоугольника равна 
. Суммарная площадь всех построенных прямоугольников приблизительно будет равна искомой площади криволинейной трапеции aABb:
(4.1)
Обозначим через 
. Будем увеличивать число разбиений, одновременно устремляя 
к нулю. Тогда сумма (4.1) будет все точнее выражать площадь криволинейной трапеции. Представляется естественным за искомую площадь принять предел суммы (4.1) при 
и 
, т.е.:
(4.2)
4.2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Определение 1. Интегральная сумма.
Рассмотрим функцию 
, определенную и непрерывную на 
. Разобьем произвольным образом на n частей точками 
и на каждом полученном отрезке 
произвольно выберем точку 
и вычислим значение функции в это точке. Составим сумму,
(4.3)
называемую интегральной суммой для функции на отрезке .
Определение 2. Разбиение отрезка.
Совокупность точек деления отрезка 
и промежуточных точек 
будем называть разбиением отрезка, и обозначать буквой Т.
Каждому разбиению соответствует определенная интегральная сумма. Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений.
Обозначим через 
– диаметр разбиения. Устремим 
, 
, тогда и все 
, и возьмем предел интегральной суммы (4.3): 
Определение 3. Определенный интеграл.
Определенным интегралом от функции 
на отрезке называется предел интегральной суммы (4.3) при и 
в предположении, что этот предел существует и не зависит от разбиения Т отрезка , т.е. от выбора точек 
и 
, что записывается так:
(4.4)
Очевидно, что определенный интеграл – это число (в отличие от неопределенного).
Определение 4. Интегрируемая функция.
Если у функции 
, определенной на отрезке 
, существует определенный интеграл, то она называется интегрируемой на отрезке .
4.3. Теорема существования определенного интеграла
Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной на 
, если этот отрезок можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых функция непрерывна. Теорема существования формулируется так:
Если функция 
ограничена и кусочно-непрерывна на 
, то она интегрируема на этом отрезке.
Следствие.
Интегрируемость непрерывной функции является частным случаем этой теоремы.
Приведем пример неинтегрируемой на отрезке функции.
Пример:
Рассмотрим функцию Дирихле
Выбираем произвольное разбиение отрезка . В каждом 
существует хотя бы одна рациональная точка. Если ее брать за 
, то интегральная сумма будет равна 
. На тех же найдутся и иррациональные точки, тогда интегральная сумма, отвечающая данному выбору , будет равна нулю. В этом случае предел интегральной суммы не существует.
4.4. Свойства определенного интеграла
1. Если 
и 
, то 
есть площадь криволинейной трапеции.
2. 
, т.к. все 
.
3. 
, т.к. интегральная сумма имеет вид 
.
Интеграл от единицы равен длине отрезка интегрирования.
4. 
, т.к. все 
меняют знак, если разбиение отрезка начинать от точки b.
5. Свойство линейности определенного интеграла.
, если функции 
и 
интегрируемы на .
Доказательство:
Составим интегральную сумму для функции 
:
.
Переходя к пределу при Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
и
|
|
