Социокультурные ограничения и их преодоление в развитии математики

Современные историко-научные исследования убедительно показывают, что развитие естествознания периодически сопровождалось кризисами, т.е. такими ситуациями познания, когда природа ставит теоретиков в тупик. В дальнейшем нередко требовались самые неординарные усилия для выхода из этого тупика. Разрешение кризисов иногда приводило даже к научным революциям – радикальной смене понятий и представлений, лежащих в основе научной картины мира. В среде математиков распространенно убеждение, что в отличие от естественных наук, кризисы в математике носят не онтологический (расхождение между картиной мира и миром), а, главным образом, психологический характер. С этой точки зрения причина кризисов в математике всегда заключалась в несоответствии между представлениями о том, чем математика является, что от неё можно ожидать, и неожиданными результатами, полученными в ходе математической деятельности. Так, известные результаты Гёделя подорвали слишком радужные надежды, связанные с реализацией программы Гильберта. Тем самым они поставили под сомнение ту концепцию математики, которая предполагалась при формулировании этой программы. Очень часто кризисы в математике оказывались связанными с преодолением социокультурных (нередко интерпретируемых в качестве метафизических) ограничений на её развитие. В каком-то смысле и результаты Гёделя являлись таким преодолением. Хрестоматийным примером внезапного преодоления метафизических запретов является открытие древнегреческими математиками явления несоизмеримости геометрических величин. Открытие несоизмеримых величин было первым серьёзным кризисом в развитии математики. Можно сказать, что для древних греков оно явилось метафизической катастрофой. Открытие иррациональности корня из двух (т.е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной) традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гиппасу. Метафизическая программа, которая ставила своей целью найти ключ к пониманию мироздания через исследование отношений целых чисел, оказалась нереализуемой, так как стало ясно, что существуют величины, принципиально невыразимые через эти отношения. Сколь велико было разочарование древнегреческих математиков, можно судить по легендам, которые рассказывают о жестокой расплате Гиппаса за совершённое им открытие. По воле разгневанных божеств он то ли погиб в кораблекрушении, то ли был попросту выброшен за борт слишком рьяными поклонниками пифагорейской доктрины (см. /39/).

Сама проблематика влияния на развитие математики тех или иных социокультурных факторов долгое время находилась на периферии исследовательских интересов научного сообщества. Радикальные взгляды Освальда Шпенглера о прямой зависимости содержания математики от той культуры, в рамках которой она развивается /135/, привлекли к себе пристальное внимание лишь в последние десятилетия. Сейчас уже очевидно, что развитие математики вовсе не сводится к кумулятивному процессу накопления неких «вечных» истин, что адекватную картину развития этой науки невозможно представить без учёта влияния разнообразных социокультурных факторов. В этом ещё раз убеждает вышедший не так давно сборник работ ведущих отечественных специалистов по истории и философии математики «Стили в математике: социокультурная философия математики» /122/. Социокультурная философия математики неоднородна. А.Г. Барабашев выделяет три различных её направления /122, с.254-255/. Во-первых, это историческая ветвь, делающая акцент на анализе явлений некумулятивности в развитии математики. Сюда относится, например, обширная дискуссия о революциях в математике, определённые итоги которой были подведены в известной книге «Revolutions in Mathematics» /154/. Ко второму направлению относится ветвь социальной детерминации, утверждающая зависимость содержания науки от социальных взаимоотношений, от региональных и национальных особенностей. Так, отдельные мыслители противопоставляли «пролетарскую математику» «буржуазной математике», «китайская математика» противопоставлялась «математике европейской». Были и те, кто утверждал о существовании особой «арийской математики» (Л. Бибербах). Наиболее обширное третье направление – это ветвь культурной детерминации. В этом направлении работает и сам А.Г. Барабашев. В упомянутом сборнике представлена его статья /11, с.463-495/, где он отстаивает концепцию, развивающую идеи Шпенглера и заключающуюся в том, что познавательные установки, формирующиеся в данной культуре, обуславливают возникновение формальных структур, которые, в свою очередь, трансформируются в исходные математические структуры и в основания математики эпохи. Различные направления социокультурной философии математики в разной степени уязвимы для критики. Разумеется, гораздо осторожнее говорить не о социокультурной детерминации, а о влиянии социокультурных факторов на развитие математики. Такого подхода придерживается, например, А.А. Григорян. Его статья «Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии математики» /28, с.353-376/ имеет прямое отношение к теме нашего исследования и поэтому будет проанализирована достаточно подробно.

А.А. Григорян начинает свою статью с трех следующих высказываний Аристотеля: «О случайном не может быть знания через доказательство», «Актуально-бесконечного не существует», «Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии». По мнению Григоряна, эти высказывания характеризуют тот социокультурный (метафизический) контекст развития греческой математики, в рамках которого было крайне затруднительно возникновение таких теорий, как теория вероятности, анализ бесконечно малых и теория геометрических преобразований, хотя соответствующий уровень развития математики и имевшиеся проблемы не исключали такую возможность /28, с.353 /. Поэтому, строго говоря, речь надо вести не о метафизических запретах (этот термин предполагал бы жёсткую детерминацию), а лишь об ограничениях, налагаемых культурным контекстом на возможности развития. Социокультурные установки могут оказывать влияние, но не могут предопределять. Здесь, по мнению Григоряна, может оказаться уместной метафора «круга» (социокультурного или метафизического), введённая выдающимся французским математиком А. Г. Гротендиком /28, с.354/. Гротендик считал (см. его книгу «Урожай и посевы. Размышления о прошлом математики» /29/), что большинство математиков обречены на то, чтобы жить, затворившись в жёстком понятийном универсуме той красиво обустроенной математической Вселенной, которую они нашли, когда принялись за свои научные изыскания. Получив в наследство большой, обустроенный математический дом со всеми удобствами, они и не задумываются, почему и как были задуманы и изготовлены инструменты, которыми они пользуются, почему комнаты размещены и благоустроены так, а не иначе /29, с.29/. Существуют, впрочем, математики, чьим призванием является беспрестанная жажда строительства новых домов. К такого типа математикам Гротендик, кроме себя, относит в первую очередь Галуа, Римана и Гильберта. Большинству же математиков удаётся получать результаты, пусть значительные, порой очень красивые, но находящиеся в рамках уже завершённого контекста. Эти учёные так и остались узниками «кругов невидимых и властных», установленных в качестве своеобразных границ для математической Вселенной в данную эпоху и в данной среде. Они и не помышляли о том, чтобы затронуть эти границы. Вышеупомянутые высказывания Аристотеля, хотел он этого или не хотел, как раз и очерчивали «круги невидимые и властные», ограничивающие возможности развития античной математики. Можно ли эти «круги» как-то классифицировать? Покажем, что метафизические ограничения, имеющие место в математике, достаточно разноплановы, выделим их типы и особенности преодоления в каждом случае.

Первый из кругов очерчивается высказыванием Аристотеля, что о случайном не может быть знания через доказательство /6, с.308-309/. Общепринято связывать возникновение теории вероятности как науки со второй половиной 17 века. Считается, что исходным пунктом развития теории послужила переписка между Ферма и Паскалем (1654 г.), которая содержит главным образом решение задач на разделение ставки. Эти задачи были связаны с рядом азартных игр. В своих письмах и Паскаль и Ферма неявным образом пользовались такими фундаментальными теоретико-вероятностными представлениями, как зависимость и независимость событий, теоремами сложения и умножения вероятностей (не определяя ещё самого понятия «вероятность») и т.д. Ими было введено такое важное понятие будущей теории вероятности, как математическое ожидание случайного события (выигрыша в игре). В 1657 году к исследованию задачи на разделение ставки подключился и Гюйгенс, опубликовав работу «О расчётах в азартной игре» - первое увидевшее свет сочинение по теории вероятности. На работу Гюйгенса опирался в своих исследованиях (90-е годы 17 столетия) Я. Бернулли. Появление его трактата «Искусство предположения» знаменует окончательное становление новой теории. Итак, становление теории вероятности как науки происходило во второй половине 17 века. Но является ли возникновение математической науки о случайном именно в 17 веке «случайным событием»? – таким вопросом задаётся А.А. Григорян в своей статье /28, с.357/. Правомерность этого вопроса обуславливается достаточно высоким уровнем развития математики в античности (а), имеющимися сведениями о распространённости как в античности, так и позднее, азартных игр, послуживших в 17 веке источником первых теоретико-вероятностных проблем (б), пристальным вниманием античной философии к проблемам необходимости и случайности, возможности и действительности (в). Поэтому, почему бы не предположить, что, сумей какой-либо любитель азартных игр в античности привлечь внимание крупных математиков своего времени к задачам на разделение ставки, то наука о случайном могла бы возникнуть намного раньше, чем это произошло на самом деле? Как показывает дальше А.А. Григорян, на самом деле всё не так просто.

Проблема необходимости и случайности занимала одно из центральных мест в философской системе Аристотеля. Как известно, последователи Демокрита отрицали случай. Они считали, что ничего не происходит случайно, но что есть некоторая определённая причина для всего того, относительно чего мы говорим, что оно произошло спонтанно и случайно. «Люди сотворили себе кумир из случая как прикрытие для присущего им недомыслия», - утверждал Демокрит /75, с.216/. Аристотель занимал более взвешенную точку зрения. Он признавал как необходимость, так и случайность. «Уничтожение случая, - пишет Аристотель /78, с.70/, - влечёт за собой нелепые последствия. Есть многое, что совершается не по необходимости, а случайно… Если в явлениях нет случая, но всё существует и возникает из необходимости, тогда не пришлось бы ни совещаться, ни действовать для того, чтобы, если поступить так, было одно, а если иначе, то не было этого». Но даже признание объективности случая не могло навести Аристотеля на мысль о необходимости науки о случайном. И вина в этом, как убедительно показал А.А. Григорян /28, с.359/, лежит на гносеологических представлениях, господствовавших в античности. Дело здесь заключается в принципиальной дихотомии между знанием (episteme) и мнением (doxa), присущей античной философской традиции. При этом под знанием понималась система абсолютно достоверных утверждений, доказанных по образцу евклидовой геометрии (т.е. с помощью строгого вывода из очевидных аксиом). За рассуждениями же, которые не удовлетворяли критериям доказательства геометрического типа, не признавали статуса научности. Выводы, связанные с подобными рассуждениями, относили к разряду мнения. Согласно Аристотелю /6, с.312/, «предмет знания и знание отличаются от предмета мнения и от мнения, ибо знание направлено на общее и основывается на необходимых [положениях]; необходимое же есть то, что не может быть иначе. Многое же, хотя и истинно и существует, но может быть иным. Ясно поэтому, что о нём нет науки». В рамках такой гносеологической позиции невозможно представить себе возникновение науки о случайном, ибо оно не есть то, «что не может быть иначе». Поэтому совершенно логично Стагирит заключает /6, с.308-309/: «О случайном, или преходящем нет знания через доказательство… Если случайное… не есть ни то, что бывает большей частью, ни необходимое, то для него не может быть доказательства». Средневековая европейская философия, основывавшаяся на теологически переработанной концепции Аристотеля, также не допускала возможности существования знания, не обладающего чертами абсолютной достоверности, завершённости, окончательности. Поэтому неудивительно, что в Средние века случайность, вероятность не стали объектами научного исследования, несмотря на то, что, как отмечает А.А. Григорян /28, с.360/, в трудах схоластов нашли место интересные философские рассуждения о природе случайного.

Вероятностный «круг» носил исключительно внешний относительно математики характер. Он был абсолютно невидим для античных математиков, они не осознавали в этом отношении какого-либо запрета или ограничения, препятствующего их научным исследованиям. Совершенно справедливо А.А. Григорян пишет /28, с.362/, что социокультурные основания теоретического знания античности предопределили невозможность появления не только каких-либо вероятностных понятий, но и вообще каких-либо научных проблем, при решении которых такие понятия могли понадобиться. Ни одному из античных математиков и в голову не могло прийти рассматривать проблему, включающую какие-либо аспекты понятия «случайного». Как показывает анализ /28, с.360-361/, для преодоления вероятностного «круга» понадобились вполне определённые социокультурные и соответствующие им метафизические метаморфозы. Иными словами, должна была произойти смена социокультурного контекста, должны были исчезнуть или утратить своё влияние метафизические установки, препятствующие анализу вероятностной проблематики, и появиться такие философские и научные исследовательские программы, которые бы способствовали её раскрытию. В связи с этим, А.А. Григорян выделяет заявленную Ф. Бэконом в «Новом Органоне» новую гносеологическую позицию, противостоящую перипатетизму. Ф. Бэкон не снимал противопоставление «знание – мнение» в аристотелевском смысле. Однако у него нет пропасти между epistema и doxa. Напротив, достижение абсолютно достоверного знания «форм» связывается Бэконом с постепенным преобразованием данных опыта из области мнения в сферу знания посредством разработанных им процедур индуктивного метода. Дальнейшая исследовательская практика по программе Бэкона заставила переосмыслить само понятие достоверности. Максимально достижимый результат в опытном естествознании – это хорошо обоснованная гипотеза. В дальнейшем эта гипотеза может уточняться за счёт привлечения новых фактов, степень её обоснованности может повышаться, при этом, однако, никогда не достигая уровня достоверности в аристотелевском смысле. На становление вероятностных аспектов гносеологии Нового времени, как указывает А.А. Григорян, существенное влияние оказали и философско-методологические воззрения Декарта (декартовский гипотетизм). Согласно Декарту, абсолютно достоверное знание возможно лишь о том, что полностью подчинено сознанию. Это знание, удовлетворяющее критериям ясности и отчётливости для разума и ограниченное пределами математики и метафизических истин типа cogito ergo sum. Физический мир, однако, недоступен для абсолютно достоверного познания. Физическое познание, убеждён Декарт, - это сфера более или менее вероятных гипотез, следствия из которых должны согласоваться с опытом, хотя последнее не гарантирует их абсолютной истинности. Отсюда возникает проблема сравнения гипотез по их большей или меньшей вероятности. Неслучайно, что необходимость создания вероятностной логики была вскоре зафиксирована Лейбницем, испытавшим существенное влияние картезианства. «Я уже не раз говорил, - писал Лейбниц в «Новых опытах о человеческом разумении…» /69, с.479 /, - что нужен новый раздел логики, который занимался бы степенями вероятности, так как Аристотель в своей «Топике» ничего не дал по этому вопросу».

 Итак, сделаем вывод. Социокультурные «круги» могут не затрагивать непосредственно математических утверждений, т.е. носить внешний относительно математики характер и, тем не менее, препятствовать развитию этой науки. Подобные «круги» совершенно «невидимы», вплоть до определённого времени, для математического сообщества и обычно преодолеваются через смену социокультурного контекста. С другой стороны, социокультурные ограничения могут и непосредственно затрагивать содержание математических утверждений. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим второе утверждение Аристотеля.

«Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии», - за этими словами Стагирита А.А. Григорян совершенно справедливо видит ещё более фундаментальный метафизический круг, существенно ограничивающий античное математическое мышление, чем тот, который мы только что рассмотрели. Речь идёт о фундаментальном различении физического и математического существования, которое, судя по всему, разделяли работающие математики античности /28, с.362/: физические объекты могут изменяться (в частности, находиться в движении), оставаясь при этом сами собой, тогда как каждый из математических объектов тождественен своему единственному и уникальному состоянию, которое в принципе не может быть подвержено какому-либо изменению. Следствием таких взглядов является то, что никакие представления о переменной величине (арифметической или геометрической) в античности просто не могли возникнуть. Кроме того, как отмечает А.А. Григорян, несмотря на наличие собственно математических предпосылок, вряд ли возможно было в античности возникновение чего-либо, подобного теории геометрических преобразований. Греческие математики знали о возможности доказательства теорем с помощью движения и наложения (например, Фалес, Евклид). Но Евклид, в частности, в своих «Началах» стремится избегать подобных доказательств там, где это только возможно. Под влиянием платонизма, представление о неизменности математических объектов стали осознаваться как один из аспектов строгости математических рассуждений, отступление от которого является крайне нежелательным. Таким образом, в отличие от вероятностного, этот круг оказался укоренённым в математике, в структуре и содержании её утверждений. Его прямым следствием явился принципиально качественный характер физики Аристотеля /28, с.364/, поскольку «математические науки чужды движению», движение не может быть описано с помощью математики (впрочем, только если оно не небесное).

Преодоление данного круга (т.е. допуск в математику представлений об изменении и движении), по всей видимости, оказалось возможным, благодаря определённой смене культурной установки, произошедшей в Европе в позднее средневековье[10]. В результате философско-математической деятельности мыслителей Оксфордского и Парижского университетов, - Р. Гроссетеста, Р. Бэкона, Н. Орема и др. - происходит сближение математического и физического существования. Эти мыслители выдвинули принципиальной важности идею количественной структуриализации аристотелевских представлений о движении. Тем самым, в новом социокультурном контексте математика низвергается с пьедестала «вечности», средневековыми учёными преодолевается пропасть между математикой и естествознанием. В Оксфорде и Париже формируется идея о переменности – течении (fluxus) величин, о мгновенных скоростях и ускорениях. Как пишет А.А. Григорян /28, с.365/, преодоление метафизических представлений, принципиально разводящих математическое и естественнонаучное мышление, приводит, в конце концов, к становлению эмпиристской философии математики. Эмпиристская философия математики, в свою очередь, становится краеугольным камнем нового метафизического круга, долгое время препятствовавшего, в частности, появлению и признанию неевклидовой геометрии. Но не привёл ли радикальный отказ от эмпиристской философии математики, произошедший в конце девятнадцатого начале двадцатого века, к образованию очередного круга, в рамках которого современная математика находится и поныне? А.А. Григорян придерживается именно такой точки зрения.

Как мы уже отмечали, второй круг античной математики в отличие от первого является укоренённым в структуре и содержании математических утверждений. И, тем не менее, он, как и первый, оказывается преодолённым в значительной степени благодаря процессам, независимым от собственно развития математического знания. Таким образом, социокультурные круги, непосредственно затрагивающие структуру и содержание математических утверждений, также могут преодолеваться в результате длительного процесса смены социокультурного контекста. И лишь анализируя третий круг античной математики, мы сталкиваемся с иным механизмом преодоления.

Третий круг античной математики представлен высказыванием Аристотеля: «Актуально бесконечного не существует». Иными словами, – это инфинитезимальный круг. Данный круг, несомненно, поддерживался как метафизическими особенностями античного мышления, так и собственно внутриматематическими причинами. Настойчивое отталкивание античной мысли от актуально бесконечного, понимание бесконечного только как процесса, как становления, имеют свою основу в особом отношении античной культуры к форме, в почитании формы, в обожествлении её. «Бесконечное есть для античности не-оформленное, не-ставшее и, на основании всего этого, как бы несуществующее» /50, с.16/. Изнутри математики запрет на актуально бесконечное возникает в качестве средства, позволяющего застраховаться от парадоксов бесконечного, возможность появления которых для греческих математиков стала очевидной в свете апорий Зенона /28, с.366-367/. С помощью аксиомы Евдокса об «архимедовых» величинах («Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» /38, с.142/) греческая математика сознательно ограничивает множество объектов, оперирование с которыми является допустимым. Ведь эта аксиома не только легализует отношения между несоизмеримыми отрезками, но также и исключает из математики как актуально бесконечно малые, так и бесконечно большие величины. Как отмечает А.А. Григорян /28, с.367/, одним из самых интересных объектов, оставшихся в античности за границами этого круга, были роговидные углы (например, угол, образованный окружностью и касательной к ней). Эти углы меньше любого сколь угодно малого угла. Они оказались под запретом, несмотря на то, что греческим математикам был известен ряд их свойств.

Инфинитезимальный круг оказался необычайно устойчивым в отношении любых изменений, происходивших в социокультурном и метафизическом контексте развития математики. Лишь во второй половине 19 века Б. Больцано и Г. Кантор попытались отбросить табу на актуальную бесконечность, лишь в середине 20 столетия А. Робинсон, создаёт нестандартный анализ, реабилитирующий бесконечно малые величины. Интересно, что Г. Кантор, положивший жизнь на то, чтобы превратить исчисление бесконечно больших величин в респектабельную математическую дисциплину, резко отрицательно относился к идее актуально бесконечно малых величин. Он подвергал сторонников этой идеи уничтожающей критике. Устойчивость запретов, связанных с собственно внутриматематическими причинами объясняется тем, что они облегчают отход от проблем, вызывающих перманентные затруднения и помогают сосредоточиться на более «перспективных» (с некоторой точки зрения) направлениях развития математики. Однако в новых контекстах такое консервирование ситуации может уже и не являться больше оправданным.

Робинсон и Кантор сознательно поставили себя вне инфинитезимального круга архимедовых величин. Они расширили горизонты возможного в математике, выдвинули альтернативы, с которыми в той или иной степени пришлось считаться математическому сообществу. Гротендик пишет о «невинности» учёного-реформатора, позволяющей ему игнорировать социокультурные запреты /29, с.22/. Подобный учёный, как замечает А.А. Григорян, «…ясно понимая, что все люди вокруг него руководствуются общепринятыми традициями, осмеливается, тем не менее, в силу каких-то, очень важных для него мотивов, действовать, как бы не замечая их» /5, с.376/. Таким образом, возможно «силовое» преодоление социокультурных кругов, с помощью выдвижения отдельными математиками утверждений, альтернативных принятым. Именно в этом случае, когда мы сталкиваемся с решимостью отдельных математиков противопоставить своё мнение мнению научного сообщества, и встаёт напрямую вопрос о рациональности математической деятельности.

Когда Ф. Китчер в своих работах начала 80-х годов стал рассматривать особенности рациональных переходов в развитии математики, он, несомненно, ориентировался на постпозитивистскую философию науки, в которой обсуждение проблем научной рациональности было одной из ведущих тем. Американский философ, в рамках своего «математического натурализма», стремился сблизить эпистемологию математики с эпистемологией опытных наук. Поэтому использование им понятия «рациональных переходов» вовсе не было случайным. Но при этом, важно отметить, Ф. Китчер использовал рационалистическую терминологию лишь в контексте обоснования математического знания. Ситуации же альтернативности, в которых использование рационалистической терминологии наиболее уместно, относятся скорее к контексту открытия, чем к контексту обоснования. Это позволяет нам подойти под иным углом зрения, нежели Ф. Китчер, к итогам постпозитивистских дискуссий в философии науки. Анализу этих дискуссий будет посвящена следующая глава.

ГЛАВА 2