Понятие дифференциального исчисления

ЛЕКЦИЯ 18.03.2020 для гр. КТПм-19-о

ТЕМА: Понятие дифференциального исчисления. Уравнение в дифференциалах. Дифференциальные уравнения в производных. Простейшие интегральные уравнения.

Понятие дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения дифференциального исчисления и указали на взаимно-обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Аппаратом дифференциального исчисления служат центральные понятия производная и дифференциал.

Понятие производной удобно объяснять на решении геометрической задачи построения касательной к плоской кривой в некоторой ее точке М (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 — Геометрическая интерпретация производной

Пусть кривая Г есть график функции Положение касательной будет определено, если найдется ее угловой коэффициент, т. е. тангенс угла , образованного касательной с осью OX. Обозначив через абсциссу точки М, а через – абсциссу точки . Угловой коэффициент секущей равен

где — приращение функции на отрезке .

Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей , когда стремится к , получаем

. (2.13)

Производной функции в точке называется предел, (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю так, что

. (2.14)

С помощью производной определяется ряд важных понятий естествознания.

Производную функции обозначают , или Df (x). Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

Если производная в свою очередь, имеем производную, то ее называют второй производной функции и обозначают , , (произносят де квадрат игрек по де икс дважды) или . Для прямолинейного движения точки вторая производная характеризует ее ускорение. Аналогично определяются и производные более высокого порядка. Производная порядка n обозначается или .

В приложении А дается таблица дифференцирования.

Дифференциал функции обозначается или . Функция , область определения которой содержит некоторую окрестность точки , называется дифференцируемой в точке , если приращение можно записать в форме , где , при . В этом и только в этом случае выражение называется дифференциалом функции f(x) в точке . Геометрически дифференциал (при фиксированном значении и изменяющемся приращении ) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT. Дифференциал dy представляет собой функцию, как от переменной х, так и от ее приращения . При фиксированном , dy есть линейная функция от и разность есть бесконечно малая относительно . Для функции имеем, т. е. дифференциал независимой переменной совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут . Имеется тесная связь между дифференциалом функции и ее производной и поэтому справедливо равенство . Правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекает из соответствующих правил нахождения производных. Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто выполняют приближенные вычисления значения функций, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f(x ₁ ) в точке x ₁, если известно значение в точке x ₀ и . Заменяя приращении функции ее дифференциалом, получают приближенное равенство