Дифференциальные уравнения в производных

Для составления дифференциальных уравнений используется видоизмененный метод дифференциалов, который называется «метод производных». Сущность метода производных заключается в том, что из условия задачи составляются приближенные соотношения между скоростями изменения функции Y и аргумента X. Вообще мера скорости применена к разнообразным исследуемым процессам и физическим величинам, что позволяет составлять математические модели в форме дифференциальных уравнений в производных.

Например, сила электрического тока определяется как предел , где  — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время . Или скорость химической реакции определяется как предел , где  — изменение количества вещества за время .

Пример 2.2

Продемонстрируем метод производных на экологическом примере размножения особей простейших одноклеточных бактерий или дрожжей. Скорость прироста популяции равна . Она пропорциональна числу особей  Можем записать простое линейное дифференциальное уравнение.

                                                                                                                             (2.16)

где k — коэффициент пропорциональности и размерности, в нашем случае параметр размножения. Разделяем переменные и интегрируем выражение (2.16)  Уравнение получаем  Потенциируя, находим , где  — постоянная, характеризующая некоторое начальное число особей.

Окончательная формула размножения особей популяции имеет вид

                                                                                                                                  (2.17)