2020-04-12
105
У загальному випадку система лінійних рівнянь має вигляд:
Тут х 1, х 2,... х n – невідомі, які треба знайти; аij – сталі числа 
, їх називають коефіцієнтами системи; b 1, b2, … b m – сталі числа, їх називають вільними членами. Розв’язком системи називають будь-яку сукупність чисел с 1, с2, ... с n , яка при підстановці замість невідомих перетворює всі рівняння системи в тотожності. Систему називають сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, коли не має розв’язків. Систему n лінійних рівнянь з n невідомими можна записати в матричному вигляді. Якщо
А= 
, Х= 
, В = 
, то A∙Х=В
Знайдемо Х, для цього обидві частини матричного рівняння помножимо на матрицю А -1: А -1 АХ = А -1 В, одержимо Х = А -1 В.
Приклад 8
Розв’язати систему лінійних рівнянь: 
1. Матриця системи, матриця вільних членів мають вигляд:
А= 
, В= 
2. Знайдемо обернену матрицю А -1 за формулою
А -1= 
, обчисливши визначник та алгебраїчні доповнення елементів матриці.
|
|
|
= 1(4–0) –1(8–3)+2(0–1)= 4–5–2= –3
А -1= 
Х = А -1. В = – 
=
= 
= 
= 
.
Отже, 
Розв’язання систем лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера.
Для систем двох рівнянь з двома невідомими.
+
Звідки одержуємо х 1(a 11 а 22- а 12 а 21) = b 1 a 22- b 2 a 12, або
Якщо використати формулу обчислення визначників другого порядку, то розв’язок можна записати так:
Для систем порядку вище другого формули аналогічні.
Теорема № 4 (Правило Крамера)
Якщо визначник 
системи n лінійних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, що визначається за формулами хi = 
, 
, де знаменником є визначник системи, а чисельник 
- визначник, утворений з визначника системи в результаті заміни i -го стовпця з коефіцієнтів при шуканому невідомому х i стовпцем з вільних членів.
Приклад 9
Розв’язати систему рівнянь: 
1. Обчислимо головний визначник:
= 
= (4-0)-(8-3)+2(0-1)= 4-5-2= -3
2. Обчислимо визначники:
х1= 
= 7(4-0)-(40-18)+2(0-6)= 28-22-12= -6
х2= 
= (40-18)-7(8-3)+2(12-10)= -9
х3= 
= (6-110)-(12-10)+7(0-1)= -3
3. Запишемо розв’язок за формулами Крамера:
х 1= 
= 2 х 2= 
= 3 х 3= 
= 1
Відповідь. (2;3;1)
Метод Гаусса розв’язання систем лінійних рівнянь.
Означення 14
Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі операції:
1. заміна нумерації невідомих системи;
2. перестановка місцями рівнянь системи;
3. додавання до одного рівняння іншого, помноженого на довільне число.
Означення 15
Дві сумісні системи називаються рівносильними, якщо всі розв’язки першої системи є також розв’язками другої і, навпаки, всі розв’язки другої системи є розв’язками першої. Якщо обидві системи не сумісні, вони також називаються рівносильними.
|
|
|
Теорема 5
