Ранг матриці. Мінори та алгебраїчні доповнення Елементарні перетворення матриць. Обернена матриця

Означення 10

Мінором r-го порядку матриці А розмірів m x n називається визначник r-го порядку, утворений з елементів матриці А, що залишились після викреслення в ній m-r рядків і n-r стовпців (r m, r n).

Означення 11

Натуральне число r називається рангом матриці А, якщо воно задовольняє такі вимоги:

1. Матриця А має мінор r-го порядку, відмінний від нуля;

2. Усякий мінор (r+1)-го і більш високого порядку (якщо такі існують) дорівнює нулю.

Означення 12

Елементарними перетвореннями матриці називають такі операції:

1. Перестановка (транспозиція) двох рядків або стовпців;

2. Додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповідних елементів другого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Матриці, здобуті одна з іншої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень, називаються еквівалентними.

Теорема 1

Ранги еквівалентних матриць рівні.

Означення 13

Матриця розмірів m х n, рангу r 1 називається трапецієподібною, якщо існує таке натуральне число l (l ), що

1. Елементи а ₁₁, а ₂₂,... а_ll не дорівнюють нулю;

2. Якщо l<m, то елементи стовпців, що стоять під елементами а ₁₁, а ₂₂, а _33,... а _ln, дорівнюють нулю; якщо l=m, то дорівнюють нулю елементи стовпців, що стоять під елементами а ₁₁, а ₂₂,... а _l-1l-1. Трапецієподібна матриця має вигляд

Теорема 2

Ранг трапецієподібної матриці дорівнює кількості ненульових рядків.

Обчислення рангу матриці способом знаходження елементарними перетвореннями еквівалентної даній трапецієподібної матриці.

Приклад 6

Обчислити ранг матриці А= .

Виконаємо такі елементарні перетворення матриці А. Переставимо місцями 1-й і 3-й стовпці матриці А, отримаємо:

Додамо до елементів 2-го рядка елементи 1-го, а до третього елементи 1-го рядка, помножені на число – 5, тоді матимемо:

Додаючи до елементів 3-го рядка елементи другого, помножені на 3, дістанемо:

Здобули трапецієподібну матрицю, для якої . Отже, r(A) = 2.

Означення 14

Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці А, якщо АС=СА=Е, де Е – одинична матриця n- го порядку. Матриця, обернена до матриці А позначається через А^-1. Квадратна матриця А порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо 0, то А називається неособливою.