Метод Гаусса-Жордана розв’язання систем лінійних рівнянь

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими

Нехай у системі а_ij 0. Називатимемо його розв’язувальним елементом.

1. Усі елементи розв’язувального рядка ділимо на розв’язувальний елемент а_ij і результат записуємо в i -ий рядок нової матриці.

2. Усі елементи розв’язувального стовпця, крім а_{ij ,} замінюємо нулями.

3. Решту елементів матриці обчислити за формулами:

Елементи  зручно обчислювати за правилом прямокутника. Розглянемо прямокутник, одна з вершин якого лежить в елементі, на місці якого обчислюється новий, а протилежна – в розв’язувальному елементі; дві інші вершини лежать відповідно: одна в розв’язувальному рядку, а друга – в розв’язувальному стовпці.

Елемент  дорівнює добутку розв’язувального елемента на протилежний йому мінус добуток двох інших елементів і весь цей вираз ділиться на розв’язувальний елемент .                                

Зауваження:

1. Як розв’язувальний елемент зручно брати елемент, що дорівнює 1.
2. Якщо а_ir =0, то r-й стовпець у нову матрицю записують без змін.
3. Якщо а_kj = 0, то k-й рядок матриці записується без змін у k-й рядок нової матриці.

Приклад 12

Розв’язати систему методом Гаусса-Жордана

Перетворення системи по методу Гаусса-Жордана запишемо в таблицях, виділивши на кожному кроці розв’язувальний елемент.

З останньої таблиці записуємо розв’язок системи: