Застосування систем алгебраїчних лінійних рівнянь до аналізу моделі Леонтьєва багатогалузевої економіки

 

Розглядається n галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію, частина якої використовується для внутрішніх потреб, а частина для суспільних потреб (поза матеріальним виробництвом). Процес виробництва розглядається протягом деякого часу (наприклад, року).

 

Позначимо:

х_i – валовий об’єм продукції i-ої галузі ;

х_ij – об’єм продукції i - ої галузі, що використовується в j -ій галузі в процесі виробництва ;

y_i – об’єм кінцевого продукту i -ої галузі для невиробничого споживання;

Співвідношення балансу – це рівняння

Коефіцієнти прямих затрат а _ij =  показують затрати продукції i -ої галузі на виробництво одиниці продукції j -ої галузі. Вважають, що коефіцієнти – сталі числа на деякому проміжку часу. Це означає лінійну залежність матеріальних затрат від валового випуску, тобто, . Співвідношення балансу мають такий вигляд:

 

Це рівняння можна записати в матричному вигляді:

Х= АХ + Y (*), де А = , Х= , Y =

Основна задача міжгалузевого балансу полягає в тому, щоб знайти вектор валового виробництва Х, який при відомій матриці прямих затрат А забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y.

Рівняння (*) можна розв’язати: Х = (Е–А)^-1 Y, матриця S = (E–

– A)^-1 називається матрицею повних затрат. Матриця А  називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора Y  існує розв’язок Х  рівняння (*). У цьому випадку модель Леонтьєва називається продуктивною.

III. Завдання для самостійної роботи.

1. Обчислити визначники.

1). = (В.  = 22)           

2) = (В. ).

3) = (В.  =68)              

4) =     (В. ).

 

2. Задані матриці 

А=  Знайти АС; АВ.

 

3. З’ясувати, чи існує матриця, обернена матриці А.

А = , і якщо існує, знайти її. Виконати перевірку: АА^-1 = Е.

 

4. Обчислити АВ – ВА, якщо:

А= , В= .

 

5. Розв’язати задану систему трьома методами:

1) матричним;

2) за формулами Крамера;

3) методом Гаусса-Жордана:

а)  

б)

в)

6. Дослідити системи на сумісність та знайти загальний розв’язок. Використати метод Гаусса.

а)   

б)

в)

г)  

д)

 

IV. Завдання для контрольної роботи.

Завдання 1

Дано дві матриці А і В. Знайти:

а) добуток матриць А∙В;

б) обернену матрицю ;

в) знайти ;

1.

2.        

3.     

4. .

5. .           

6. .

7. .          

8. .

9. .          

10. .

11. .       

12. .

13. .         

14. .

15. . 

16. .

17. .     

18. .

19. .      

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .      

26. .

27. .    

28. .

29. .       

30. .

Завдання 2

Розв’язати систему рівнянь:

 

а) за формулами Крамера;

 б) матричним методом;

 в) методом Гаусса-Жордана.

 

 

V. Список використаної і рекомендованої літератури.

1. Апатенок Р.Ф.Элементы линейной алгебры. – Мн. «Вышейш. школа», 1977.
2. Гетманцев В. Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування: навчальний посібник. – К.: Либідь, 2002. – 256 с.
3. Данко П.Б., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.Высш.шк.,1980-1984,т.1.
4. Дискант В.І. Береза Л. Р. і інші. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. – К.: Вища шк., 2001.- 303 с.
5. Кремер Н.Ш. Путко И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 471 с.
6. Тевяшев А. Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах і задачах. ч. 1. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. Диференціальне числення функцій однієї змінної. – Харків: ХТУРЕ.2002 – 552 с.
7. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высш.шк.,1978, т.1.
8. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – Серія: математичні науки.

 

Здано до набору 12.08.03. Підписано до друку 30.08.03.

Формат 145×210. Папір 80г/м², обкладинка 80г/м².

Друк лазерний.

Віддруковано на обладнанні