Понятие бинарного отношения

Лекция 3. Бинарные отношения

План лекции

3.1. Понятие бинарного отношения

3.2. Способы задания бинарных отношений

3.3. Операции над бинарными отношениями

3.4. Свойства бинарных отношений

3.5. Виды бинарных отношений

 

Понятие бинарного отношения

В математике для обозначения связи между предметами или понятиями используют термин «отношение». Например, отношение «меньше» в множестве действительных чисел, отношение подобия треугольников, отношения родства и старшинства в множестве людей и др. Это примеры отношений между двумя элементами (понятиями) так называемых бинарных отношений.

Определение. Бинарным отношением, определенным на паре множеств А и В, называется любое подмножество их декартова произведения А × В.

Если  – бинарное отношение, а упорядоченная пара (а, b), где , , принадлежит R, то это записывают либо  (согласно определению), либо R (а, b), либо a R b. Обозначение a R b исходит из обозначений вида а = b, а < b,   и др.

Если  – бинарное отношение и А = В, то R называют бинарным отношением, определенным на множестве А.

Два бинарных отношения R ₁ и R ₂ равны тогда и только тогда, когда любая пара (а, b) из R ₁ принадлежит вместе с тем и R ₂,и обратно: любая пара (а, b) из R ₂ принадлежит и R ₁. Аналогично,  тогда и только тогда, когда любая пара (а, b) из R ₁ принадлежит вместе с тем и R ₂.

Определение. Пусть   – бинарное отношение, определенное на паре множеств А, В. Областью определения отношения R называется совокупность всех таких , что  хотя бы для одного . Областью значений отношения R называют множество всех таких , что  хотя бы для одного элемента .

Пусть А – произвольное множество. Назовем множество А × A универсальным отношением, определенным на множестве А; любая пара (a ₁, a ₂), где , находится в этом отношении, поэтому его называют иногда всюду истинным отношением. Пустое подмножество множества А ² называют пустым отношением; ни одна из пар множества А ² не находится в этом отношении, поэтому оно называется еще всюду ложным отношением. Отношение равенства, определенное на множестве А, совпадает с множеством так называемых диагональных пар: (а, а), где , и обозначается е _A или просто е, если ясно, какое множество А рассматривается.

По аналогии с понятием бинарного отношения вводится и понятие n -арного (n -местного) отношения.

Определение. Пусть A ₁, …, A _n – непустые множества. Всякое подмножество R их декартового произведения А ₁× A _n называется отношением, определенным на системе множеств A ₁, …, A _n.

Если A ₁ = … = A _n = А, то отношение R, определенное на системе множеств A ₁, …, A _n, называют n -арным (n -местным) отношением, определенным на множестве А.

Виды отношений:

1-местное – подмножество

2-местное – бинарное отношение

3- местное – тернарное отношение и т. д.

n -местное – n-арное отношение.

Показатель степени множества называется арностью отношения.     

Типы отношений:

Обратное отношение                 R ^-1={(a, b)| (b, a)Î R }

Дополнение отношения             R = {(a, b)|(a, b)Ï R }

Тождественное отношение        I = {(a, a)| a Î A }

Универсальное отношение        U= {(a, b)| a, b Î A }