Расчет оптимального резервирования ретранслятора

спутника.

Вероятность безотказной работы бортовой аппаратуры спутника равна

. (23)

Одним из основных путей обеспечения надежности бортовой аппаратуры является применение резервирования. Оптимальное резервирование в данной курсовой работе рассматривается на примере ретранслятора, логическая схема надежности которого приведена на рис.4.

Рис. 4. Логическая схема надежности ретранслятора.

Цифры на рис. 4 означают номера устройств, интенсивности отказов которых приведены в Приложении 2. В состав ретранслятора входят малошумящий усилитель, приемник, преобразователь частоты, передатчик и другие устройства, разделенные на четыре участка резервирования. При этом устройства 2 и 3 (а также 4 и 5) имеют общий ненагруженный резерв. Число резервных устройств является кратностью резервирования. Эти числа необходимо определить расчетом. Обозначим через вероятность безотказной работы i -го участка резервирования за заданное время t. Вероятность безотказной работы ретранслятора

. (24)

Масса ретранслятора равна

. (25)

Задача оптимального резервирования состоит в следующем: необходимо так рассчитать числа , чтобы надежность ретранслятора была не ниже требуемой

(26)

при минимальной массе, то есть минимуме функции (25). Задачу поясняет рис.5 на примере изделия, состоящего из двух участков резервирования с кратностями резервирования и . Целевая возрастающая функция (25) представляет собой поверхность, изображенную пунктирными линиями (рис.5 неточен, поскольку эта поверхность является ступенчатой из-за дискретности ). Уравнение (26) с учетом (24) графически представлено линией, называемой условием, ограничением. На этой линии отыскивают точку М, то есть оптимальные кратности резервирования и , при которых масса минимальна и равна - условному минимуму функции (25).

Задачу оптимального резервирования решим методом наискорейшего спуска. В этом методе условный минимум функции (25) при условии (26) отыскиваем путем последовательных шагов из начальной точки, в которой все =0, по направлению наибольшего значения частной производной функции (25).

Рис 5. Условный минимум массы при оптимальном резервировании.

Для этого составляется табл. 7 со значениями показателя надежности . Эти вероятности в случае ненагруженного резервирования замещением вычисляются по формулам (7-9). Интенсивности отказов указаны в Приложении 2, причем для второго, третьего участков резервирования (рис.4): . Вычисления вероятностей выполняются с точностью до 3-го или 4-го знака после запятой.

Таблица 7. Значения показателя надежности устройств


0 1 2	(0) (1) (2)

Затем с учетом табл. 7 составляется табл. 8 со значениями - «удельного» увеличения надежности в пересчете на единицу массы. «Удельное» увеличение надежности, получаемое от единицы массы первого резервного устройства, определяется по формуле:

. (27)

Выражение в скобках равно относительному увеличению надежности, которое получено за счет первого резервного устройства. После добавления второго резервного устройства «удельное» увеличение надежности равно

. (28)

Таблица 8. «Удельное» увеличение надежности


1
2

Из чисел табл. 8 составляется последовательность всех в порядке их убывания. Например, получена следующая последовательность

(29)

В соответствии с последовательностью (29) осуществляется многошаговый процесс оптимального резервирования.

1. На участке резервирования 6 к нерезервированному устройству добавляют первый резерв, поскольку он согласно (29) обеспечивает наибольшее «удельное» увеличение надежности. Проверяют, выполняется ли неравенство

. (30)

2. Если неравенство (26) не выполняется, то согласно (29) первый резерв вводят на участке резервирования «23». Проверяют выполнение неравенства (26), то есть

. (31)

3. Если опять , то к устройству 6 добавляют 2-й резерв и проверяют выполнение неравенства

(32)

и т.д. Процесс оканчивают, когда впервые окажется , так как выбранные кратности резервирования обеспечивают требуемую надежность при минимальной массе ретранслятора. Эта масса вычисляется по формуле (25).

Составляется логическая схема ретранслятора с принятым резервированием, аналогичная рис.4.

Примечание 1. Следует иметь в виду, что окончательное значение вероятности может оказаться несколько выше 0,95 из-за дискретности .

2. Расчет времени восстановления станций А и Б.

Логическая схема надежности станций А и Б представлена на рис.6, где цифры означают номера устройств, интенсивности которых даны в Приложении 2. Эти значительно больше, чем интенсивности отказов устройств ретранслятора из-за больших значений коэффициентов нагрузки радиоэлементов и большей сложности наземной техники.

Из рис.6 видно, что устройство 2 имеет постоянное дублирование, а устройства 3-6 имеют общее ненагруженное дублирование замещением. Рассмотрим два варианта восстановления.

Рис 6. Логическая схема надежности станций А и Б.

Вариант 1. Станции А и Б с независимыми устройствами. Во время восстановления любого отказавшего устройства другие устройства остаются включенными. В частности, если отказало одно из устройств с резервированием, оно восстанавливается, а работу продолжает резервное устройство.

В варианте восстановления 1 коэффициент готовности станций [4,7]

, (33)

где - коэффициент готовности i -го участка, равный:

- для нерезервированного участка,

- для постоянного дублирования, (34)

- для ненагруженного дублирования.

Подставляя (34) в (33) с учетом рис.6 получим формулу, выражающую требование по надежности

, (35)

где

Задача состоит в том, чтобы определить максимально возможное значение , обеспечивающее выполнение требования (35). Решение уравнения (35) возможно различными методами. Приведем решение методом хорд. Для этого из (35) получим следующую функцию:

(36)

График этой функции изображен на рис.7. Пересечение графика с осью абсцисс дает искомое значение . Приближение к нему выполняется последовательными шагами.

1. Произвольно выберем достаточно большое значение , например, =100 час. Проведем хорду ad. Из подобия треугольников найдем значение

. (37)

Рис 7. Иллюстрация метода хорд.

2. Проведем хорду вd и найдем значение

(38)

3. Проведем хорду cd и найдем значение

(39)

Обычно 2-3-х шагов достаточно, чтобы получить значение среднего времени восстановления , близкое к точному значению. Выполнив расчеты по формулам (37) – (39), далее по формуле (35) вычислим коэффициент готовности станции КА.

Примечание 2. Следует иметь в виду, что величина КА будет несколько больше 0,99 из-за неточности вычисления величины .

Вариант 2. Станции А и Б с зависимыми устройствами. Во время восстановления станция выключена, не работает. Восстановление выполняется лишь после полного отказа любого участка, то есть после отказа его основного и резервного устройств. Пользуясь остановкой станции, восстанавливают не только отказавший участок, но также устраняют внутренние отказы на других участках. Таким образом, перед включением в работу станция становится как бы «новой» с точки зрения надежности.

В варианте восстановления 2 коэффициент готовности подсистемы [4]

, (40)