Абсолютная сходимость

Если  сходится, то сходимость интеграла  называется абсолютной, а если сходится только , а  расходится, то условной.

 

Сходимость в смысле главного значения.

Рассмотрим функцию, заданную на всей числовой оси. Если предел

 существует и является конечным числом, то интеграл называется сходящимся «в смысле главного значения». Это понятие необходимо потому, что бывают ситуации, когда интегралы  и  оба расходятся, причём один равен , другой , а данный предел по симметричным интервалам существует. Так, если функция нечётна, то  для любого числа .

 

ЛЕКЦИЯ № 2. 11.02.2020

§ 2. Кратные интегралы.     

       Определение. Пусть дана функция , её область определения - некоторая область D в плоскости. Введём разбиение D на части двумя семействами прямых линий. В каждой части  возьмём произвольную точку  с координатами . Площадь  обозначим . Величина  называется интегральной суммой. Предел этой величины при измельчении разбиения называется двойным интегралом функции  по множеству , и обозначается .

Как правило, сначала мы будем рассматривать область D - прямоугольник: , , затем произвольные области.

Геометрический смысл. Интегральная сумма означает сумму объёмов параллелепипедов, построенных на каждом из оснований , а интеграл - объём под поверхностью, которая задана уравнением .

Физический смысл. Если функция задаёт плотность какой-либо плоской пластины, то двойной интеграл - масса.

Аналогично определяется понятие тройного интеграла. Если дана функция , определённая в трёхмерной области, то её можно разбить на части с помощью трёх семейств плоскостей, выбрать по точке в каждой части, и составить интегральную сумму. То, что получается в пределе, называется тройным интегралом. . Физический смысл тройного интеграла: если функция - плотность некоторой породы, то в результате вычисления тройного интеграла получится масса.

       Метод вычисления.

       При вычислении кратных интегралов, как двойных, так и тройных, сводят к так называемым «повторным» интегралам.

= . Также в этом случае можно применять запись вида:  где дифференциал пишется именно после того интеграла, которому он соответствует. При фиксировании одной переменной, мы получаем функцию уже не двух, а одной переменной. Так, при  получается . На чертеже этому соответствует сечение поверхности вдоль оси , то есть кривая. Интеграл по одной переменной при фиксированной второй, это площадь криволинейной трапеции, которая получается в сечении. 

 

Если проинтегрировать все эти величины по второму направлению, то получится объём тела под поверхностью. Аналогично, как если разрезали бы булку хлеба на очень тонкие слои, а затем вычислили площадь каждого, и сложили все эти величины (умножая на их толщину) получили бы объём.

 

Пример. Вычислить интеграл , где  есть квадрат: , .

Решение.  =  вычислили сначала «частную первообразную» по переменной , то есть ту функцию, частная производная от которой по  была бы . Во внутренних скобках применяем формулу Ньютона-Лейбница по переменной .

 =  = . Оставшийся интеграл по переменной  вычисляется обычным образом:  =  = .

       Однако, область D может быть и не прямоугольной. Аналогично тому, как массив в программировании может быть не прямоугольным, тогда во внутреннем цикле двойного цикла границы переменные и зависят от переменной, определённой во внешнем цикле:

for i: = 1 to 10 do

for j: = 1 to i do

read (a[i,j]);

end;

end;

В случае, если область не прямоугольная, границы вложенного интеграла могут быть не числами, а зависеть от внешней переменной. Рассмотрим пример.

Пример. Вычислить , D  - треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).  

Решение. Границы фигуры по переменной  это , при других значениях  нет точек этого треугольника вообще. При каждом , вертикальный отрезок имеет разную высоту, сначала вообще 0, а затем чем правее, тем больше. Чем больше , тем выше отрезок по . Вертикальные отрезки внутри треугольника от высоты 0 доходят до линии . Поэтому при каждом , верно .

Интеграл будет записан в виде: .

Граница во внутреннем интеграле зависит от внешней переменной .

Границы внешнего интеграла обязательно должны быть контантами.

Во вложенной скобке, вычислится первообразная по , и будет применена формула Ньютона-Лейбница по .

 =  =  = .

И хотя границы зависят от , они подставлены в переменную , т.е. всё равно получилась функция от , так же, как если был бы прямоуголник и границы были бы числовыми. Далее, уже обычным путём вычислим интеграл по .Итак,  =  = .