2020-04-07
134
Пример. Вычислить интеграл 
где D куб 
.
Решение. Здесь 3 вложенных действия: 
.
Сначала вычислим первообразную по 
и применим формулу Ньютона-Лейбница по 
, 
= 
.
После этого вычислим первообразную по 
:
= 
= 
= 
= 
.
Замечание. Тройные интегралы тоже могут быть по сложной области, а не параллелепипеду или кубу. Во внутреннем интеграле (по переменной ) в этом случае может быть зависимость уже от обеих внешних переменных, а именно 
.
Пример. Вычислить интеграл где D трёхмерное тело над квадратом 
, ограниченное сверху плоскостью 
.
Решение. В проекции на горизонтальную плоскость это тот же квадрат, что и в прошлом примере, а вот высота во внутреннем интеграле по теперь не от 0 до 1, а от 0 до , и тогда получается: 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
. Ответ. .
Приложения кратных интегралов.
Если 
то при вычислении интеграла получится просто площадь области D (если двойной интеграл) или объём области (если тройной интеграл). Физический смысл: если плотность равна 1, то масса как раз и равна объёму. Для сравнения, для определённых интегралов было то же самое, только там получалась длина отрезка: 
.
Приложения:
1) Вычисление площадей фигур (двойной интеграл).
Допустим, надо вычислить площадь области под графиком 
, если 
. Если записать интеграл в виде 
то он преобразуется к 
= 
.
Как видим, двойной интеграл почти сразу же превращается в обычный определённый, после того, как во внутреннем интеграле вычисляется первообразная от 1 по переменной . То есть, с помощью двойного интеграла или с помощью определённого - методы практически эквивалентны.
2) Вычисление объёмов тел (тройной интеграл).
Аналогично, если , то с помощью тройного интеграла получается объём тела.
3) Площадь поверхности.
Формула площади явно заданной поверхности:
.
Доказательство. Разобьём область определения на прямоугольники небольшого размера, со сторонами 
и 
. Над таким прямоугольником есть часть поверхности, за счёт малости размера она очень близка к касательной плоскости. Рассмотрим параллелограмм на касательной плосоксти и вычислим его площадь. Его стороны это векторы 
и 
. Рассмотрим подробнее, какие у них координаты.
направлен по касательной в сечении, параллельном оси 
, то есть тангенс угла наклона для него это 
. Тогда его координаты: 
= 
. Аналогично вектор 
расположен в сечении вдоль оси 
, его координаты 
, если вынести дельта, то это 
. Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения, она равна модулю векторного произведения (вспомните 1 семестр, векторная алгебра и геометрия).
= 
, модуль этого вектора: 
.
Вспомним, что мы вынесли за скобку коэффициенты и . Поэтому
в интегральных суммах получается 
. Тогда при переходе к пределу, будет интеграл: 
, где D это область определения в горизонтальной плоскости (то есть область, над которой расположена поверхность).
