2020-04-12
94
Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть на отрезке 
задана непрерывная функция 
. Выберем на отрезке любое значение 
и рассмотрим интеграл в пределах от 
до 
: 
(см. рис. 2).
Рис. 2
Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла, так как определенный интеграл – это число, связанное с пределами интегрирования.
Обозначим 
= 
.
Определение: Функция называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема: Если функция 
непрерывна на отрезке 
и 
= , то справедливо равенство: 
или 
.
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.
Замечание. Таким образом, можно утверждать, что всякая непрерывная на отрезке функция 
имеет на этом отрезке первообразные, одной из которых является функция .
Теорема Ньютона-Лейбница
Теорема: Если функция 
– какая- либо первообразная от непрерывной функции 
, то
(5)
Это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство: Пусть – первообразная функции . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция 
- первообразная функция от 
. Но так как функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга только на некоторое постоянное число С, то можно записать
.
Это равенство справедливо для любого 
из рассматриваемого интервала. Положим 
:
.
Следовательно, 
, то есть 
. Тогда можно записать
.
Полагая в этом равенстве 
, получим:
Заменив переменную t на переменную 
, получаем формулу Ньютона – Лейбница:
Теорема доказана.
Иногда применяют обозначение двойной подстановки 
.
При вычислении определенных интегралов используются те же приемы и методы, которые были изучены при нахождении неопределенных интегралов.
Примеры. Вычислить следующие интегралы:
1. 
2. 
3. 
4. 
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема: Пусть дан интеграл 
, где функция 
непрерывна на отрезке 
. Введем новую переменную t по формуле 
. Если при этом:
1) j (a) = а, j (b) = b (т.е. при изменении 
значения функции 
не выходят за интервал ),
2) j (t) и j ¢(t) непрерывны на отрезке [ a, b ],
3) сложная функция f(j(t)) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ], то
(6)
Тогда 
Замечание 1. При вычислении определенного интеграла по формуле (6) не надо возвращаться к старой переменной, т.к. уже получено числовое значение интеграла.
Пример.
=
= 
= 
.
Замечание 2. При замене переменной в определенном интеграле следует следить за непрерывностью вводимой функции на рассматриваемом отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
Например,
,
Применим к этому интегралу тригонометрическую подстановку, получим
.
Таким образом, два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что введенная функция 
имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке 
= p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Если функции 
и 
непрерывны на отрезке 
и имеют на этом отрезке непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
(7)
Пример.
= 
= 
=
= 
= 
Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно нуля
Теорема. Определенный интеграл с противоположными пределами интегрирования от непрерывной нечетной функции равен нулю, т.е.
.
Доказательство. Пусть 
- непрерывная нечетная функция, определенная на отрезке 
. Вычислим интеграл
В первом из интегралов сделаем замену переменных, положив 
. Тогда, учитывая нечетность функции 
, получим
Теорема. Определенный интеграл с противоположными пределами интегрирования от непрерывной четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по правой (левой) половине отрезка интегрирования, т.е.
.
Доказательство теоремы аналогично предыдущему.
