2020-04-12
103
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть на отрезке 
задана непрерывная функция 
, причем 
на этом отрезке. Построим график функции на и концы графика обозначим точками A и B (см. рис. 1).
Рис.1
Определение 1: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой 
, прямыми 
и частью оси 
( - основание трапеции).
Ставится задача: найти площадь криволинейной трапеции 
. Для приближенного решения поставленной задачи разобьём отрезок на 
частей точками 
; где 
, 
. В результате криволинейная трапеция разобьётся на узкие полоски, которые в общем случае также являются криволинейными трапециями. Но чем меньше ширина полоски, тем меньше эта трапеция отличается от прямоугольника.
Рассмотрим произвольный отрезок 
длины 
, где 
. На каждом отрезке выберем произвольную точку 
, то есть 
, и подсчитаем значение функции в этой точке 
. Заменим 
ю криволинейную трапецию на прямоугольник с тем же основанием и высотой, равной 
. Сделав такую замену на всех отрезках, получим некоторую ступенчатую фигуру, площадь которой 
может быть подсчитана по формуле:
Полученную площадь ступенчатой фигуры можно принять за приближенное значение искомой площади криволинейной трапеции
Увеличивая число точек разбиения отрезка и одновременно уменьшая длины всех элементарных отрезков, в пределе получим площадь криволинейной трапеции
,
где 
при 
.
Интегральная сумма. Определенный интеграл
Пусть на отрезке задана непрерывная функция (см. рисунок 1).
Рассмотрим разбиение 
отрезка на частей (не обязательно одинаковых) точками , то есть 
. Длина каждого элементарного отрезка .
На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: . Найдем произведение 
.
Составим сумму 
всех таких произведений:
(1)
Определение 2: Сумма (1) называется интегральной суммой для функции 
на отрезке .
Очевидно, что сумма зависит от способа разбиения отрезка на элементарные и от выбора на них точек . Пусть число точек разбиения отрезка неограниченно растет, причем .
Определение 3: Если существует предел интегральной суммы при и , независящий ни от способа разбиения отрезка на элементарные, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается
(2)
Здесь - подынтегральная функция, 
- подынтегральное выражение, 
и 
- соответственно нижний и верхний пределы интегрирования. Функция называется интегрируемой на отрезке .
Другими словами, определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.
Замечание 1. Определенный интеграл вводится как предел интегральной суммы, т.е. мы имеем некоторое обобщенное суммирование на отрезке .
Замечание 2. После введения понятия и обозначения определенного интеграла для рассмотренной задачи о площади криволинейной трапеции можно записать:
,
где на отрезке .
Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом заключен геометрический смысл определенного интеграла.
Теорема: (теорема существования): Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
