2020-04-12
1179
Если функция 
на отрезке 
имеет конечное число точек разрыва 1-го рода, то отрезок разбивается на конечное число интервалов, где функция непрерывна и интеграл равен сумме интегралов, вычисленных на интервалах непрерывности функции.
Пусть 
определена и непрерывна при 
, а при 
терпит разрыв 2-го рода, т.е. 
(см. рис. 3).
Рис.3.
В этом случае интегральную сумму построить можно, но она может принимать произвольно большие числовые значения в силу неограниченности 
и, следовательно, не имеет предела. Поэтому построить определенный интеграл обычным способом нельзя.
Рассмотрим интеграл 
, где 
.
Определение. Если существует конечный предел 
, то он называется несобственным интегралом от функции в пределах от 
до 
.
Обозначение: 
.
Аналогично определяется несобственный интеграл для функции 
, непрерывной на интервале 
:
.
Если функция 
имеет разрыв 2-го рода в некоторой точке 
, где 
, то несобственный интеграл запишется в виде
.
Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла, стоящие справа.
Теорема. Если первообразная 
для функции имеет конечный предел при 
, т.е. 
, то несобственный интеграл 
сходится и вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
, ч.т.д.
Пример.
= 
. Интеграл сходится.
Оценка несобственных интегралов от разрывных функций
Теорема. Если на отрезке 
функции и 
имеют разрыв 2-го рода только в точке , причем во всех точках этого отрезка выполняются неравенства 
и интеграл 
сходится, то сходится интеграл 
, и справедливо неравенство
.
Теорема. Если на отрезке функции и 
имеют разрыв 2-го рода только в точке , причем во всех точках этого отрезка выполняются неравенства 
и интеграл расходится, то расходится и интеграл 
.
Теорема. Если знакопеременная на отрезке функция 
имеет разрыв 2-го рода только в точке и несобственный интеграл 
от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл от самой функции. В этом случае он называется абсолютно сходящимся.
