Если функция на отрезке имеет конечное число точек разрыва 1-го рода, то отрезок разбивается на конечное число интервалов, где функция непрерывна и интеграл равен сумме интегралов, вычисленных на интервалах непрерывности функции.
Пусть определена и непрерывна при , а при терпит разрыв 2-го рода, т.е. (см. рис. 3).
Рис.3.
В этом случае интегральную сумму построить можно, но она может принимать произвольно большие числовые значения в силу неограниченности и, следовательно, не имеет предела. Поэтому построить определенный интеграл обычным способом нельзя.
Рассмотрим интеграл , где .
Определение. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом от функции в пределах от до .
Обозначение: .
Аналогично определяется несобственный интеграл для функции , непрерывной на интервале :
.
Если функция имеет разрыв 2-го рода в некоторой точке , где , то несобственный интеграл запишется в виде
.
Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла, стоящие справа.
|
|
Теорема. Если первообразная для функции имеет конечный предел при , т.е. , то несобственный интеграл сходится и вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
, ч.т.д.
Пример.
= . Интеграл сходится.
Оценка несобственных интегралов от разрывных функций
Теорема. Если на отрезке функции и имеют разрыв 2-го рода только в точке , причем во всех точках этого отрезка выполняются неравенства и интеграл сходится, то сходится интеграл , и справедливо неравенство
.
Теорема. Если на отрезке функции и имеют разрыв 2-го рода только в точке , причем во всех точках этого отрезка выполняются неравенства и интеграл расходится, то расходится и интеграл .
Теорема. Если знакопеременная на отрезке функция имеет разрыв 2-го рода только в точке и несобственный интеграл от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл от самой функции. В этом случае он называется абсолютно сходящимся.